3.2.1函数的单调性与最值 ppt课件-新人教A版（2019）高中数学必修第一册.rar

3.2.1 函数的单调性与最值函数的单调性与最值（第一课时）（第一课时）情景引入：情景引入： 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试，得他经过测试，得到了以下一些数据：到了以下一些数据：时间间隔隔 t刚记忆完完毕20分分钟后后60分分钟后后8-9小小时后后1天天后后2天天后后6天天后后一个一个月后月后记忆量量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量以上数据表明，记忆量y y是时间是时间间隔间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯遗忘曲线斯遗忘曲线”, ,如图如图. .123tyo20406080100我们发现：我们发现：“艾宾浩斯遗忘曲艾宾浩斯遗忘曲线线”从左至右是逐渐下降的，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用对此，我们如何用数学数学观点进观点进行解释？行解释？tyo20406080100123观察观察: :你能说说下列函数图象的变化特点吗你能说说下列函数图象的变化特点吗？思思考考： 对对比比函函数数f( (x)x2 2的的图图象象和和列列出出的的x，y的的对对应应值值表表格格，你你能能发发现现什什么么？x 4 3 2 101234f(x)x216941014916 在区间在区间 _ 上，上，随着随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 在区间在区间 _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 在在区区间间 上上从从左左至至右右图图象象上上升升还还是是下下降降? ? _，在区间在区间 上呢？上呢？ _.讨论：讨论：下降下降上升上升探究：探究：如何利用函数解析式如何利用函数解析式 描述上面的结论描述上面的结论呢？呢？ 对于二次函数对于二次函数 ，我们可以这样来描述，我们可以这样来描述“在区间（在区间（0，+）上，随着）上，随着x 的增大，相应的的增大，相应的 f(x)也随着增大也随着增大”： 在区间（在区间（0 0，+）上，任取两个）上，任取两个 ， ，得到，得到 ， ，当，当 时时, ,有有 ，这时，就说函数这时，就说函数 在区间（在区间（0 0，+）上是）上是单调单调递递增增增增你能根据以上描述，试着说明函数你能根据以上描述，试着说明函数 在区间在区间 (，0上的变化吗？上的变化吗？ 对于二次函数对于二次函数 ，我们可以这样来描述，我们可以这样来描述“在区间在区间（，0上，随着上，随着x 的增大，相应的的增大，相应的 f(x)反而减小反而减小”： 在区间在区间（，0上，任取两个上，任取两个 ， ，得到，得到 ， ，当，当 时时, ,有有 ，这时，就说函数这时，就说函数 在区间在区间（，0上是上是单调单调递递减减减减一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I:函数的单调性定义函数的单调性定义 如果对于如果对于定义域定义域I I内内某个区间某个区间D D上的上的任意任意两个自变量两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函，那么就说函数数 在在区间区间D D上上单调递增单调递增单调递减单调递减 如果函数如果函数yf（x），在区间），在区间D上是单调递增或单上是单调递增或单调递减，那么就说函数在这个区间上调递减，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单具有（严格）单调性调性，区间，区间D叫做叫做yf（x）的）的单调区间单调区间特别地，当函数特别地，当函数f(x)在它的在它的定义域上单调定义域上单调递增递增时，我们就称它时，我们就称它是是增函数增函数.特别地，当函数特别地，当函数f(x)在它的在它的定义域上单调定义域上单调递减递减时，我们就称它时，我们就称它是是减函数减函数.类型一：写出（求出）函数的单调区间类型一：写出（求出）函数的单调区间例例1 1 下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间 -5,5-5,5上的函数上的函数y= =f（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是递增区间还是递减区间每一单调区间上，它是递增区间还是递减区间-5Ox y12345-1-2-3-4123-1-2解：解：yf（x）的单调区间有）的单调区间有 5 5，2 2），）， 2 2，1 1），），11，3 3），），33，5.5.其中其中yf（x）递减区间是）递减区间是 5 5，2 2），），11，3 3）. .递增区间是递增区间是 2 2，1 1），），33，5 5）. .变式变式1 1： 根据图象说出函数的的单调区间，以根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，是函数的递增区间还是及在每一单调区间上，是函数的递增区间还是递减区间递减区间y1 2 3 4 5xy=f（x）-1 O-1,0),2,4(0,2,4,5递减区间递减区间递增区间递增区间变式变式2 2：由右图，由右图，函数函数 的定义域是什的定义域是什么？它在定义域上的单么？它在定义域上的单调性是怎样的？说说你调性是怎样的？说说你的结论的结论（1）定义域优先考虑；）定义域优先考虑；（2）定义中）定义中“任意任意”不可省略，单调区间一不可省略，单调区间一般不能用并集符号；般不能用并集符号；（3）结果一定要写成区间形式，注意不在定）结果一定要写成区间形式，注意不在定义域范围内的端点处要写开区间义域范围内的端点处要写开区间；（4）注意数形结合思想方法应用）注意数形结合思想方法应用.小结一下：小结一下：类型二：类型二： 判断（证明）函数在某个区间上判断（证明）函数在某个区间上的单调性的单调性 例例2 2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大试用函数的单调性证明之将增大试用函数的单调性证明之 分析：分析：按题意，只要证明函数按题意，只要证明函数 在区间（在区间（0 0，+）上是减函数即可）上是减函数即可 证明：证明：根据单调性的定义，设根据单调性的定义，设V1 1, ,V2 2是定义域是定义域（0 0，+）上的任意两个实数，且）上的任意两个实数，且V1 1 00； 由由V1 1 00 又又k00，于是，于是 即即 所以，函数所以，函数 是减函数也就是是减函数也就是说，当体积说，当体积V减小时，压强减小时，压强p将增大将增大 取值取值： 作差作差： (3)(3)变形变形： (4)判断符号判断符号： (5)得出结论得出结论：2.判断函数单调性的判断函数单调性的方法方法：(1)图象法图象法； (2)定义法定义法. 1.定义法证明函数的单调性的一般步骤定义法证明函数的单调性的一般步骤小结一下小结一下 设设x1 ,x2是是给给定定区区间间内内的的两两个个任任意意值值，且且x1 x 2 ； 作差作差f(x1)f(x2);判断判断f(x1)f(x2)的正负的正负,有时要讨论；有时要讨论； 根据定义得出其在某区间上单调性根据定义得出其在某区间上单调性. 要要变变到到能能判判断断符符号号为为止止（变变形形常常用用方方法法：因因式式分解、配方、通分、分子分母有理化分解、配方、通分、分子分母有理化等）；等）； 2.判断（证明）函数单调性的一般步骤：判断（证明）函数单调性的一般步骤： 取值取值： 作差作差： 判断符号判断符号： 得出结论得出结论：3.判断函数单调性的判断函数单调性的方法方法： (1)图象法图象法； (2)定义法定义法.1.定义域定义域优先考虑；优先考虑；小结一下：小结一下： 设设x1 ,x2是是给给定定区区间间内内的的两两个个任任意意值值，且且x1x 2）；）； 作作差差f(x1)f(x2)，变变形形，要要变变到到能能判判断断符符号号为为止止（变变形形常常用用方方法法：因因式式分分解解、配配方方、通通分分、分分子子分分母母有有理化理化等）；等）； 判断判断f(x1)f(x2)的正负的正负,有时要讨论；有时要讨论； 根据定义得出其在某区间上单调性根据定义得出其在某区间上单调性.例例3 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性.解：函数解：函数 的定义域是的定义域是R. 由由 ，得，得 . 所以所以当当k0时，时， ， 于是于是 ，这时，这时， 是增函数是增函数.当当k0时，时， ， 于是于是 ，这时，这时， 是减函数是减函数.练习：测试一下：测试一下：看看今天学习了什么知识：看看今天学习了什么知识：本堂小结：本堂小结： 2 2根据定义判断（证明）函数的单调性根据定义判断（证明）函数的单调性的一般步骤的一般步骤 1 1函数的单调性及单调区间的概念；函数的单调性及单调区间的概念；3.数形结合，特殊到一般的思想方法数形结合，特殊到一般的思想方法.1.1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；理解函数的最大（小）值及其几何意义；( (重点）重点）2.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质学会运用函数图象理解和研究函数的性质. .（难点）（难点）3.2.1 函数的单调性与最值函数的单调性与最值（第二课时）（第二课时）1.函数的单调性定义函数的单调性定义特别地，当函数特别地，当函数f(x)在它的在它的定义域上单调定义域上单调递增递增时，我们就称它时，我们就称它是是增函数增函数.复习回顾复习回顾一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I:区间区间 如果如果 ，当，当 时，都有时，都有 ，那，那么就说函数么就说函数 在在区间区间D D上上单调递增单调递增函数函数 在在区间区间D D上上单调递增单调递增函数函数 在在区间区间D D上图像从左向右是上图像从左向右是上升的上升的1.函数的单调性定义函数的单调性定义复习回顾复习回顾一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I:区间区间 如果如果 ，当，当 时，都有时，都有 ，那，那么就说函数么就说函数 在在区间区间D D上上单调递减单调递减函数函数 在在区间区间D D上上单调递减单调递减函数函数 在在区间区间D D上图像从左向右是上图像从左向右是下降的下降的特别地，当函数特别地，当函数f(x)在它的在它的定义域上单调定义域上单调递减递减时，我们就称它时，我们就称它是是减函数减函数. 取值取值： 作差作差： (3)(3)变形变形： (4)判断符号判断符号： (5)得出结论得出结论：3.判断函数单调性的判断函数单调性的方法方法： (1)图象法图象法； (2)定义法定义法.2.定义法证明函数的单调性的一般步骤定义法证明函数的单调性的一般步骤复习回顾复习回顾 设设x1 ,x2是是给给定定区区间间内内的的两两个个任任意意值值，且且x1x 2）；）； 作差作差f(x1)f(x2);判断判断f(x1)f(x2)的正负的正负,有时要讨论；有时要讨论； 根据定义得出其在某区间上单调性根据定义得出其在某区间上单调性. 要要变变到到能能判判断断符符号号为为止止（变变形形常常用用方方法法：因因式式分解、配方、通分、分子分母有理化分解、配方、通分、分子分母有理化等）；等）； 例例1 1 已知函数已知函数f( (x) )的定义域为的定义域为-2,2-2,2，且，且f( (x) )在区间在区间 -2,22,2上是增函数，上是增函数，f(1-m)(1-m)f(m)(m)，求实数，求实数m m的取值范围的取值范围. .解：解： 因为函数因为函数f( (x) )在区间在区间-2,2-2,2上是增函数，且上是增函数，且f(1-m)(1-m)f(m)(m)，所以，所以，故实数故实数m m的取值范围是的取值范围是 . .喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落，后便下落，经历了先经历了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现单调的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种性与函数的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让我们，让我们来研究来研究函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值. .观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： yxox0图图2MB探究探究1 1 函数的最大值函数的最大值思考思考1 1 这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？思考思考2 2 设函数设函数y=f(x)y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,M,则对函则对函数定义域内任意自变量数定义域内任意自变量x,f(x)x,f(x)与与M M的大小关系如何的大小关系如何? ?最高点的纵坐标即最高点的纵坐标即是函数的最大值！是函数的最大值！函数最大值定义函数最大值定义：一般地，设函数：一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义的定义域为域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有_；（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得_._.那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值. .请同学们仿此给请同学们仿此给出函数最小值的出函数最小值的定义定义f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M)=M函数最小值定义函数最小值定义：一般地，设函数：一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义的定义域为域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有_；（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得_._.那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值. .f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M)=M对函数最值的理解对函数最值的理解1.1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得使得 . .并不是所有满足并不是所有满足 的函数都有的函数都有最大值最大值M.M.2.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小最大的函数值或者是最小的函数值的函数值. .yxox0M3.3.最值几何意义：最值几何意义：f(x)的最大值的最大值就是就是图象上图象上最高点最高点的纵坐标，的纵坐标，最小值就是图像上最小值就是图像上最低点最低点的纵的纵坐标坐标. .例例2 2已知函数已知函数 , ,求此函数的最大值和最小值求此函数的最大值和最小值. .解：解：设设x x1 1,x,x2 2是区间是区间2,62,6上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x x1 1xx2 2 单调性求单调性求最值最值因此，函数因此，函数 在区间在区间2,62,6的两个端点上分的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在别取得最大值与最小值，即在x=2x=2时取得最大值，最时取得最大值，最大值是大值是2 2，在，在x=6x=6时取得最小值，最小值是时取得最小值，最小值是0.4.0.4.所以，函数所以，函数 是区间是区间2,62,6上的减函数上的减函数. .【提升总结提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点. .因此因此解题过程分为两个部分，先证明函数在解题过程分为两个部分，先证明函数在22，66上是减上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值函数，再求这个函数的最大值和最小值. .例例3 3 已知函数已知函数 , ,当自变量当自变量x在下列范在下列范围取值时，求函数的最大值和最小值：围取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R;(2)0,3;(3)-1,1(1)R;(2)0,3;(3)-1,1解析：解析：所以，函数所以，函数f( (x) )图像的对称轴为直线图像的对称轴为直线x=2,=2,例例4 4 已知函数已知函数 , , 求函数求函数 f( (x) )在在-5,5-5,5上的最小值上的最小值. .解：解：所以函数所以函数 f( (x) )图像的对称轴为直线图像的对称轴为直线x= =a, ,变式变式 已知函数已知函数 , , 求函数求函数 f( (x) )在在-5,5-5,5上的最上的最大大值值. .解：解：所以函数所以函数 f( (x) )图像的对称轴为直线图像的对称轴为直线x= =a, ,1 1设二次函数设二次函数f(x)=xf(x)=x2 2+4x-3+4x-3，函数值，函数值f(2),f(1),f(2),f(1),f(-1),f(5)f(-1),f(5)中，最小的一个是中，最小的一个是( )( )A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)【解析解析】由题意知抛物线的对称轴为由题意知抛物线的对称轴为x=-2x=-2，函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+4x-3+4x-3在在-2,+)-2,+)上是增函数，有上是增函数，有f(-1)f(-1)f(1)f(1)f(2)f(2)f(5).f(5).C C2. 2. 函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+4ax+2+4ax+2在区间在区间 (-(-，66内递减，内递减，则则a a的取值范围是的取值范围是( )( )A.a3 B.a3A.a3 B.a3C.a-3 D.a-3C.a-3 D.a-3D D【解析解析】二次函数图像的对称轴为二次函数图像的对称轴为x=-2ax=-2a 故只需故只需-2a 6,-2a 6,即即a-3a-33.3.函数函数y=xy=x2 2,x,x-1-1，2 2的最大值为的最大值为_._.【解析解析】函数函数y=xy=x2 2在在-1,0-1,0上为减函数，在上为减函数，在0,20,2上为增函数上为增函数. . 当当x=-1x=-1时，时，y=1y=1；当；当x=2x=2时，时，y=4y=4，所以函，所以函数数y=xy=x2 2在在xx-1,2-1,2上的最大值为上的最大值为4.4.41.1.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质函数的最值是函数在其定义域上的整体性质. .2.2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性可以直接使用函数的单调性. .3.3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决. 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