1、8.6.2 直线与平面垂直(第一课时)线面垂直的判定1.1.理解并掌握直线与平面垂直的判定定理理解并掌握直线与平面垂直的判定定理. .（重点重点）2.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用掌握直线与平面垂直的判定定理的应用. .（难点难点）3.3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题，进一步了解线线垂直与线面应用直线与平面垂直的判定定理解决问题，进一步了解线线垂直与线面垂直之间的转化关系垂直之间的转化关系. . 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多认识在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多认识. .比如，旗杆与底比如，旗杆与底面的位置关系，如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆面的位置关系，
2、如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在底面的影及它在底面的影子子BC. .随着时间的变化，影子随着时间的变化，影子BC的位置在不断的变化，旗杆所在直线的位置在不断的变化，旗杆所在直线AB与与其影子其影子BC所在直线是否保持垂直？所在直线是否保持垂直？AB直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义C1.1.旗杆所在的直线始终与影子所在旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直的直线垂直. .2.2.旗杆旗杆AB所在直线与地面内任意一所在直线与地面内任意一条直线都垂直条直线都垂直. .B1C1 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 如果直线如果直线l与平面与平面 内的内的任意一条直线任意一条直
3、线都垂直，我们就说直线都垂直，我们就说直线l 与平面与平面互相垂直互相垂直. .记作记作l.l平面平面的垂线的垂线直线直线l 的垂面的垂面P垂足垂足直线和平面垂直的画法直线和平面垂直的画法P 画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直横边垂直. .lamam直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足平面的交点叫做垂足. . 等价于对任意的直线等价于对任意的直线 ，都有，都有 . . 可以发现，可以发现，过一点垂
4、直于已知平面的直线有且只有一条过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. .过一点作垂直过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. . 想要得到线面垂直的判定定理，根据想要得到线面垂直的判定定理，根据线面垂直线面垂直的定义可知：的定义可知：直线与平面垂直直线与平面垂直 直线垂直于平面内任意一条直线直线垂直于平面内任意一条直线直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定从而可以得到：从而可以得到：如果如果直线与平面垂直直线与
5、平面垂直，那么这条，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线直线垂直于平面内任意一条直线；反过来，；反过来，如果如果直线垂直于平面内任意一条直线直线垂直于平面内任意一条直线, ,那么这条那么这条直线与平面垂直直线与平面垂直. .这样我们就把这样我们就把线面垂直的问题转化成了线线垂直的问题线面垂直的问题转化成了线线垂直的问题. .如何判定一条如何判定一条直线垂直于平面内任意一条直线直线垂直于平面内任意一条直线呢呢? ? 根据基本事实的推论，我们知道，两条平行或相交直线即可确定一个根据基本事实的推论，我们知道，两条平行或相交直线即可确定一个平面，由此可以想到：如果一条直线垂直于平面内两条平行或相交直线
6、，平面，由此可以想到：如果一条直线垂直于平面内两条平行或相交直线，是否就能使这条直线垂直于平面呢？是否就能使这条直线垂直于平面呢？如图，如图，ADBC，ABBC，ABAD，但但AB不垂直于平面不垂直于平面ABCD. .思考思考1 1：一条直线垂直于平面一条直线垂直于平面内两条平行直线，这条直线垂直于平内两条平行直线，这条直线垂直于平面吗？面吗？思考思考2 2：一条直线垂直于平面一条直线垂直于平面内两条相交直线，这条直线垂直于平内两条相交直线，这条直线垂直于平面吗？面吗？如图，如图，AA垂直于面垂直于面ABCD内两条相交内两条相交直线直线AB，AD. . 此时此时AA平面平面ABCD. .一条一
7、条直直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直直线和平面垂直的判定定理直线和平面垂直的判定定理lmnP线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直符号语言：符号语言：mnlmnPlmln例例1 1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面直线也垂直于这个平面. .如图，已知如图，已知ab，a，求证：，求证：b. .mnabP(1)(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤在这个平面内找两条直
8、线，使它们和这条直线垂直；在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论根据判定定理得出结论. .(2)(2)平行转化法平行转化法( (利用推论利用推论) )：ab，a b；，a a. .1.1.如图，四棱锥如图，四棱锥S- -ABCD的底面是正方形，的底面是正方形，SD平面平面ABCD，求证，求证AC平平面面SDB. . 如图如图，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的做这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点，斜线和
9、平面的交点叫做叫做斜足斜足. 过斜线上斜足外一点向平面引过斜线上斜足外一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的这个平面上的射影射影. 平面的一条斜线和它平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线和这个平面所成的角.OPA斜线斜线斜足斜足线面所成角线面所成角( (锐角锐角PAO) )射影射影直线与平面所成的角直线与平面所成的角l一条直线垂直于平面，一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角它们所成的角是直角. .一条直线在平面内或与平面平一条直线在平面内或与平面平行，它们所成的角是行
10、，它们所成的角是0的角的角. .例例2 2 如图，已知正方体如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求，求: :(1)(1)直线直线A1B和平面和平面AA1D1D所成的角；所成的角；(2)(2)直线直线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角. .(1)(1)求求直线和平面所成角的步骤直线和平面所成角的步骤确定斜线与平面的交点确定斜线与平面的交点( (斜足斜足) )；通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即
11、为所求的角；求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. . (2)(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养素养. .2.2.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E是棱是棱DD1的中点求直线的中点求直线BE与平面与平面ABB1A1所成的角的正弦值所成的角的正弦值. . 1 1下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是( () )A A若直线若直线l 与平面与平面 内无数条直线垂直，则内无数条直线垂直，则lB B若直线若直线l垂直于平面垂直于平面，则，则l 与平面与平面 内的直线可能相交，可能异面，也内的直线可能相交，可能异面，也可能平行可能平行C C若若ab，a，l，则则lbD D若若ab，b，则，则aVABC.D2. 2. 如图，在三棱锥如图，在三棱锥V-ABC中，中，VA=VC，AB=BC，求证：，求证：VBAC. .直线与平面垂直直线与平面垂直判定定判定定理及应理及应用用定义定义直线与平面所成的角直线与平面所成的角转化思想：线面垂直转化思想：线面垂直 线线垂直线线垂直定义定义判定定理判定定理
