1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 42 讲 两条直线的位置关系 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 . 2016 全国卷 ， 5 2016 全国卷 ， 4 2015 湖南卷， 13 确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题 . 分值： 3 5 分 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1， l2，其斜率分别为 k1， k2，则有
2、 l1 l2?！ _k1 k2_#； 当不重合的两条直线 l1， l2的斜率都不存在时， l1与 l2的关系为 ！ _平行 _#. (2)两直线平行或重合的充要条件 直线 l1： A1x B1y C1 0 与直线 l2： A2x B2y C2 0 平行或重合的充要条件是 ！ _A1B2 A2B1 0_#. (3)两条直线垂直 如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则 l1 l2?！ _k1k2 1_#； 如果 l1， l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则 l1与 l2的关系为 ！ _垂直 _#. (4)两直线垂直的充要条件 直线 l1： A1x B1y
3、C1 0 与直线 l2： A2x B2y C2 0 垂直的充要条件是 ！ _A1A2B1B2 0_#. 2两条直线的交点 3三种距离 =【 ;精品教育资源文库 】 = 点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离 | |P1P2 ！ _ ?x2 x1?2 ?y2 y1?2_# 点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax By C 0 的距离 d！ _|Ax0 By0 C|A2 B2 _# 两条平行线 Ax By C1 0 与 Ax By C2 0 间的距离 d！ _|C1 C2|A2 B2_# 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)若两直线的方程组成的方程组有解，则
4、两直线相交 ( ) (2)点 P(x0， y0)到直线 y kx b 的距离为 | |kx0 b1 k2 .( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 ( ) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离 ( ) (5)若点 A， B 关于直线 l： y kx b(k0) 对称，则直线 AB 的斜率等于 1k，且线段 AB的中点在直线 l 上 ( ) 解析 (1)错误当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合 (2)错误应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点 P 到直线的
5、距离为 |kx0 y0 b|1 k2 . (3)正确因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离 (4)正确两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离 (5)正确根据对称性可知直线 AB 与直线 l 垂直且直线 l 平分线段 AB，所以直线 AB 的斜率等于 1k，且线段 AB 的中点在直线 l 上 2已知 l1的倾斜角为 45 ， l2经过点 P( 2， 1)， Q(3， m)，若 l1 l2，则实数 m( B ) A 6 B 6 C 5 D 5 解析 由已知得 k1 1， k2 m 15 . l1 l2， k1k2 1， 1 m 15 1
6、，即 m 6. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3点 (0， 1)到直线 x 2y 3 的距离为 ( B ) A 55 B 5 C 5 D 15 解析 d |0 2 ? 1? 3|5 5. 4点 (a， b)关于直线 x y 1 0 的对称点是 ( B ) A ( a 1， b 1) B ( b 1， a 1) C ( a， b) D ( b， a) 解析 设对称点为 (x ， y) ，则? y bx a ? 1? 1，x a2 y b2 1 0，解得 x b 1， y a 1. 5直线 l1： x y 0 与直线 l2： 2x 3y 1 0 的交点在直线 mx 3y 5 0 上，则 m的值
7、为 ( D ) A 3 B 5 C 5 D 8 解析 由? x y 0，2x 3y 1 0， 得 l1与 l2的交点坐标为 (1,1)， 所以 m 3 5 0， m 8. 一 两条直线的平行与垂直问题 判断两条直线平行与垂直的注意点 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关 系得出结论 【例 1】 已知两条直线 l1： ax by 4 0 和 l2： (a 1)x y b 0，分别求出满足下列条件的 a， b 的值 (1)
8、l1 l2，且 l1过点 ( 3， 1)； (2)l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 解析 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k2 1 a. 若 k2 0，则 1 a 0， a 1. l1 l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 l1过点 ( 3， 1)， 3a 4 0，即 a 43(矛盾 )， 此种情况不存在， k20 ，即 k1， k2都存在 k2 1 a， k1 ab， l1 l2， k1k2 1，即 ab(1 a) 1.(*) 又 l1过点 ( 3， 1)， 3a b 4 0.(*) 由 (*)(*)联立，解得 a 2，
9、b 2. (2) l2的斜率存在， l1 l2， 直线 l1的斜率存在， k1 k2，即 ab 1 a. 又 坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1 l2， l1， l2在 y 轴上的截距互为相反数，即 4b b， 联立 ，解得? a 2，b 2 或 ? a 23，b 2. a 2， b 2 或 a 23， b 2. 二 两条直线的交点问题 常用的直线系方程 (1)与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By m 0(m R，且 m C) (2)与直线 Ax By C 0 垂直的直线系方程是 Bx Ay m 0(m R) (3)过直线 l1： A1x B1y C1 0 与 l2
10、： A2x B2y C2 0 的交点的直线系方程为 A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0( R)，但不包括 l2. 【例 2】 求经过直线 l1： 3x 2y 1 0 和 l2： 5x 2y 1 0 的交点，且垂直于直线 l3：3x 5y 6 0 的直线 l 的方程 解析 解方程组? 3x 2y 1 0，5x 2y 1 0， 得 l1， l2的交点坐标为 ( 1,2) 由于 l l3，故 l 是直线系 5x 3y C 0 中的一条，而 l 过 l1， l2的交点 ( 1,2)，故5( 1) 32 C 0，由此求出 C 1. 故直线 l 的方程为 5x 3y 1 0. =【 ;精品
11、教育资源文库 】 = 三 距离公式的应用 利用距离公式应注意的问题 (1)点 P(x0， y0)到直线 x a 的距离 d | |x0 a ，到直线 y b 的距离 d | |y0 b . (2)应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中 x， y 的系数化为相等 【例 3】 已知点 P(2， 1) (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方 程； (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？ 解析 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为 (2， 1)，显然，过 P(2， 1)且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时直线
12、l 的斜率不存在，其方程为 x 2. 若斜率存在，设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2)，即 kx y 2k 1 0. 由已知得 | 2k 1|k2 1 2，解得 k 34. 此时直线 l 的方程为 3x 4y 10 0. 综上，可得直线 l 的方程为 x 2 或 3x 4y 10 0. (2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图 由 l OP，得 klkOP 1， 所以 kl 1kOP 2. 由直线方程的点斜式得 y 1 2(x 2)， 即 2x y 5 0. 所以直线 2x y 5 0是过点 P且与原点 O的距离最大的直线，最大距离为
13、| 5|5 5. 四 对称问题及其应用 两种对称问题的处理方法 (1)关于中心对称问题的处理方法 若点 M(x1， y1)及点 N(x， y)关于点 P(a， b)对 称，则由中点坐标公式得? x 2a x1，y 2b y1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l1 l2，由点斜式得到所求的直线方程 (2)关于轴对称问题的处理方法 点关于直线的对称 若两点 P1 (x1， y1)与 P2(x2， y2)关于直线 l： Ax By C 0 对称，
14、则线段 P1P2的中点在l 上，而且连接 P1P2的直线垂直于 l，由方程组? A? ?x1 x22 B? ?y1 y22 C 0，y2 y1x2 x1 ? AB 1，可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标 (x2， y2)(其中 B0 ， x1 x2) 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解 决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行 【例 4】 (1)已知直线 l： x 2y 2 0. 求直线 l1： y x 2 关于直线 l 对称的直线 l2的方程； 求直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程 (2)光线由点 A( 5， 3)入射到 x 轴上的点 B( 2,0)，又反射到 y 轴上的点 M，再经 y轴反射，求第二次反射线所在直线 l 的方程 解析 (1) 由? y x 2，x 2y 2 0， 解得交点 P(2,0) 在 l1上取点 M(0， 2)， M 关于 l 的对称点设为 N(a， b)， 则? a2 2 b 22 2 0，? 12 b 2a 1，=【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 N? ?125 ， 145 ， kl2145 0125 2 7，又直线直 l2过点 P(2,0)， 直线 l2的方程为 7x y 14 0
