1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 11 讲 函数与方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 结合二次函数的图象 ， 了解函数的零点与方程根的联系 ， 判断一元二次方程根的存在性与根的个数 . 2017 全 国 卷 ， 12 2017 江苏卷 ，14 2016 山东卷 ，15 2016 浙江卷 ， 2 函数的零点及其应用问题是热点 ，经常考查函数零点存在的区间 、 零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容 ， 难度不大 分值： 5 8 分 1 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y f(x)， 我们把使 _f(x) 0_成立的实数 x 叫做函数 y f(x)的零点 (2)三个等
2、价关系 方程 f(x) 0 有实数根 ?函数 y f(x)的图象与 _x 轴 _有交点 ?函数 y f(x)有 _零点 _. (3)函数零点的判定 (零点存在性定理 ) 如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线 ， 并且有_f(a) f(b)0)的零点 0 0 0)的图象 与 x 轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 _两个 _ _一个 _ 零个 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 二分法 (1)二分法的定义 对于在区间 a， b上连续不断且 _f(a) f(b)0. (3)正确当 b2 4ac0， f? ?12 1 12log21
3、2 1 12 320， f(1) 1 00，f(2) 1 2log22 10， f(b)0， 又该函数是二次函数 ， 且开口向上 ， 可知两根分别在 (a， b)和 (b， c)内 二 函数零点个数的判断 函数零点个数的判断方法 (1)解方程法：令 f(x) 0， 如果能求出解 ， 则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求 函数在区间 a， b上是连续不断的曲线 ， 且f(a) f(b)1， 则函数 F(x) f(x) a2 a 1(a R)总有零点时 ， a 的取值范围是 ( A ) A ( ， 0) (1， ) B 1,2) C 1,0 (1,2 D 0,1 解析
4、(1)要使函数在 ( 1,1)上存在一个零点 ， 则有 f( 1) f(1)0， 解得 a15或 a 1， 解得 a1.故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 函数 f(x) ln(x 1) 2x的一个零点所在的区间是 ( B ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 解析 因为 f(1) ln 2 20， 所以 f(x)在 (1,2)上必存在零点故选 B 2 函数 f(x) 2x|log0.5x| 1 的零点个数为 ( B ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 在同一坐标系中作出 y ? ?12 x 与 y |log0.5x|的图象 (图略 )， 由图可
5、得零点的个数为 2. 3 已知函数 f(x) 2x x， g(x) log3x x， h(x) x 1x的零点依次为 a， b， c， 则( A ) A a0， 且 a1) 的图象有两个公共点 ， 则实数 a 的取值范围是 _? ?0， 12 _. 解析 当 a1 时 ， 作出函数 y |ax 1|的图象如图 (1)， 此时 y 2a2， 只有一个交点 ，不成立当 00 B b 2， 且 c2， t2 0， c 0. 由 t2 bt t(t b) 0， 得 t1 b2， bm， 其中 m0.若存在实数 b， 使得关于 x的方程 f(x) b有三个不同的根 ， 则 m的取值范围是 _(3， )
6、_. 解析 f(x)的图象如图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 若存在实数 b， 使得关于 x 的方程 f(x) b 有三个不同的根 ， 只需 4m m23或 m0， 所以 m3. 课时达标 第 11 讲 解密考纲 本考点考查函数与方程的关系 、 函数的零点在近几年的高考卷中选择题 、填空题 、 解答题都出现过选择题 、 填空题通常排在中间位置 ， 解答题往往与其他知识综合考查 ， 题目难度中等 一 、 选择题 1 函数 f(x) x3 2x 1 的零点所在的大致区间是 ( A ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 解析 f(0) 10， 则 f(0) f(
7、1) 20， 又已知 f(2) 22 6 70，所以 f(0) f(2)2， 即 a4.故选 B 5 已知函数 f(x) e|x| |x|， 若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根 ， 则实数 k的取值范围是 ( B ) A (0,1) B (1， ) C ( 1,0) D ( ， 1) 解析 因为 f( x) e| x| | x| e|x| |x| f(x)， 故 f(x)是偶函数当 x0 时 ，f(x) ex x 是增函数 ， 故 f(x) f(0) 1， 由偶函数图象关于 y 轴对称 ， 知 f(x)在 ( ，0)上是减函数 ， 所 以 f(x)的值域为 1， ) ， 作出函
8、数 y f(x)与 y k 的图象 ， 如图所示 ，由图可知 ， 实数 k 的取值范围是 (1， ) 故选 B 6 (2017 全国卷 )已知函数 f(x) x2 2x a(ex 1 e x 1)有唯一零点 ， 则 a( C ) A 12 B 13 C 12 D 1 解析 由 f(x) x2 2x a(ex 1 e x 1)， 得 f(2 x) (2 x)2 2(2 x) ae2 x 1 e (2 x) 1 x2 4x 4 4 2x a(e1 x ex 1) x2 2x a(ex 1 e x 1)， 所以 f(2 x) f(x)，即 x 1 为 f(x)图象的对称轴 由题意 ， f(x)有唯一
9、零点 ， 所以 f(x)的零点只能为 x 1， 即 f(1) 12 21 a(e1 1=【 ;精品教育资源文库 】 = e 1 1) 0， 解得 a 12.故选 C 二 、 填空题 7 若二次函数 f(x) x2 2ax 4 在 (1， ) 内有两个零点 ， 则实数 a 的取值范围为_? ?2， 52 _. 解析 依 据二次函数的图象有? 0， 2a2 1，f?1?0，即? 4a2 160，a1，a0 时 ， f(x) 2 019x log2 019x， 则在 R 上 ， 函数 f(x)零点的个数为 _3_. 解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数 ， 因此 f(0) 0， 当 x0 时 ，
10、f(x) 2 019x log2 019x在区间 ? ?0， 12 019 内存在一个零点 ， 又 f(x)为增函数 ， 因此在 (0， ) 内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在 ( ， 0)内有且仅有一解 ， 从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3. 9 已知函数 f(x)? 2x a， x0 ，x2 3ax a， x0 有 3 个不同的零点 ， 则实数 a 的取值范围是_? ?49， 1 _. 解析 依题意 ， 要使函数 f(x)有三个不同的零点 ， 则当 x0 时 ， 方程 2x a 0， 即 2x a 必有一个根 ， 此时 00 时 ， 方程 x2 3ax a 0 有两个不等的实根 ， 即方程 x2 3ax a 0 有两个不等的正实根 ， 于是有? 9a2 4a0，3a0，a0，解得 a49， 因此 ， 满足题意的实数 a 需满足? 049， 即49a1. 三 、 解答题 10 关于 x 的二次方程 x2 (m 1)x 1 0 在区间 0,2上有解 ， 求实数 m 的取值范围
