1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七单元 平面向量 教材复习课 “ 平面向量 ” 相关基础知识一课过 对应学生用书 向量的有关概念 过双基 名称 定义 备注 向量 既有 大小 又有 方向 的量；向量的大小叫做向量的 长度 (或称 模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量；其方向是 任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位 的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量 方向 相同 或 相反 的非零向量 (平行向量又叫做共线向量 ) 0 与任一向量平 行或共线 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且
2、方向 相反 的向量 0 的相反向量为 0 小题速通 1若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定 ( ) A有不相等的模 B不共线 C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量 解析：选 C 若 a 与 b 都是零向量，则 a b，故选项 C 正确 2关于平面向量，下列说法正确的是 ( ) A零向量是唯一没有方向的向量 B平面内的单位向量是唯一的 C方向相反的向量是共线 向量，共线向量不一定是方向相反的向量 D共线向量就是相等向量 解析：选 C 对于 A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 不正确；对于 B，单位向量的模为 1，其方向可以是任意方向，故 B 不正确；对于 C，方向相反的
3、向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故 C 正确；对于 D，由共线向量和相等向量的定义可知 D 不正确，故选 C. 3下列命题中，正确的个数是 ( ) 单位向量都相等； 模相等的两个平行向量是相等向量； =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 a， b 满足 |a|b|且 a 与 b 同向，则 ab； 若两个向量相等，则它们的起点和终点 分别重合 A 0 B 1 C 2 D 3 解析：选 A 对于 ，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故 错误； 对于 ，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故 错误； 对于 ，向量是有方向的量，不能比较大小，故 错误； 对于 ，向量是可以
4、平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故 错误 综上，正确的命题个数是 0. 清易错 1对于平行向量易忽视两点： (1)零向量与任一向量平行 (2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件 2单位向量的定义中只规 定了长度没有方向限制 1若 mn ， nk ，则向量 m 与向量 k( ) A共线 B不共线 C共线且同向 D不一定共线 解析：选 D 可举特例，当 n 0 时，满足 mn ， nk ，故 A、 B、 C 选项都不正确，故D 正确 2设 a， b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使 a|a| b|b| 0 成立的是 ( ) A a 2b B
5、a b C a 13b D a b 解析：选 C “ a|a| b|b| 0，且 a， b 都是非零向量 ” 等价于 “ 非零向量 a， b 共线且反向 ” ，故答案为 C. 向量共线定理及平面向量基本定理 过双基 1 向量共线定理 向量 b 与 a(a0) 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 b a. 2平面向量的基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有 一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 小题速通 1已知
6、a， b 是不共线的向量， AB a b， AC a b， ， R，则 A， B， C三点共线的充要条件为 ( ) A 2 B 1 C 1 D 1 解析：选 D A， B， C 三点共线， AB AC ， 设 AB m AC (m0) ，即 a b ma m b， ? m，1 m ， 1. 2 (2018 南宁模拟 )已知 e1， e2是不共线向量， a me1 2e2， b ne1 e2，且 mn0 ，若 a b，则 mn的值为 ( ) A 12 B.12 C 2 D 2 解析：选 C a b， a b，即 me1 2e2 (ne1 e2)，则? n m， 2， 故mn2. 3已知点 M 是
7、 ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且 EC 2 AE ，则 EM ( ) A.12 AC 13 AB B.12 AC 16 AB C.16 AC 12 AB D.16 AC 32 AB 解析：选 C 如图， EC 2 AE ， EM EC CM 23 AC 12 CB 23 AC 12( AB AC ) 16 AC 12AB . 清易错 1在向量共线的重要条件中易忽视 “ a0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这
8、种分解是唯一的这一点是易忽视的 1 (2018 大连双基测试 )给出下列四个命题： 两个具有公共终点的向量一定是共线向量； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； a 0( 为实数 )，则 必为零； ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线 其中假命题的个 数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：选 C 错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点； 正确，因为向量既有大小，又有方向，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以比较大小； 错误，当 a 0 时，不论 为何值，都有 a 0； 错误，当 0 时， a b，此时 a 与 b 可以是任意向量 2.如图，在
9、OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， OP x OA yOB ，且 BP 2 PA ，则 ( ) A x 23， y 13 B x 13， y 23 C x 14， y 34 D x 34， y 14 解析：选 A 由题意知 OP OB BP ，又 BP 2 PA ，所以 OP OB 23 BA OB 23( OA OB ) 23 OA 13OB ，所以 x 23， y13. 平面向量的运算 过双基 1 向量的线性运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 =【 ;精品教育资源文库 】 = 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a b b a
10、； (2)结合律： (a b) c a (b c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a与 b 的差 三角形 法则 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运 算 (1)| a| | |a|； (2)当 0 时， a 的方向与 a的方向 相同 ；当 0时， a 的方向与 a 的方向 相反 ；当 0 时， a 0 ( a) ( )a； ( )a a a； (a b) a b 2平面向量的坐标运算 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解 (2)平面向量的坐标运算 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a (x1， y
11、1)， b (x2， y2)，则 a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)， |a| x21 y21. 向量坐标的求法 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB (x2 x1， y2 y1)， | AB | x2 x1 2 y2 y1 2. (3)平面向量共线的坐标表示 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b?x1y2 x2y1 0. 小题速通 1 (2018 嘉兴测试 )在 ABC 中，已知 M 是 BC 边的中点，设 CB a， CA b，则 AM ( ) A.12a b B.12a b =
12、【 ;精品教育资源文库 】 = C a 12b D a 12b 解析：选 A AM AC CM CA 12 CB b 12a. 2设 D 是线段 BC 的中点，且 AB AC 4 AE ，则 ( ) A AD 2 AE B AD 4 AE C AD 2 EA D AD 4 EA 解析：选 A D 是线段 BC 的中点， AB AC 2 AD ， AB AC 4 AE ， AD 2 AE . 3已知 AC为平行四边形 ABCD的一条对角线， AB (2,4)， AC (1,3)，则 AD ( ) A ( 1， 1) B (3,7) C (1,1) D (2,4) 解析：选 A 由题意可得 AD
13、BC AC AB (1,3) (2,4) ( 1， 1) 4已知 A(2,3)， B(4， 3)，且 AP 3 AB ，则点 P 的坐标为 _ 解析：设 P(x， y)， A(2,3)， B(4， 3)，且 AP 3 AB ， (x 2， y 3) 3(2， 6) (6， 18)， ? x 2 6，y 3 18， 解得 x 8， y 15， 点 P 的坐标为 (8， 15) 答案： (8， 15) 5已知向量 a (1,3)， b ( 2,1)， c (3,2)若向量 c 与向量 ka b 共线，则实数k _. 解析： ka b k(1,3) ( 2,1) (k 2,3k 1)， 因为向量 c 与向量 ka b 共线， 所以 2(k 2) 3(3k 1) 0，解得 k 1. 答案： 1 6设 O 在 ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 OA OB 2 OC 0，则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： D 为 AB 的中点， OA OB 2 OD ， OA OB 2 OC 0，
