1、第三节函数的奇偶性与周期性,总纲目录,教材研读,1.函数的奇偶性,考点突破,2.奇（偶）函数的性质,3.周期性,考点二函数周期性的判断与应用,考点一函数奇偶性,考点三函数性质的综合问题,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称.(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(3)在公共定义域内(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数.(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数.(iii)一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,与函数奇偶
2、性有关的结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.,3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=?f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中?存在一个最小的正
3、数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,有关周期函数的几个常用结论周期函数y=f(x)满足:(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|;(3)若f(x+a)=-?,则函数的周期为2|a|;(4)若f(x+a)=?,则函数的周期为2|a|;(5)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则函数f(x)的周期为2|b-a|;(6)若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x),的周期是2|b-a|;(7)若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函
4、数f(x)的周期是4|b-a|;(8)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2|a|;(9)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4|a|.,1.(2018北京东城期末)下列函数中为偶函数的是?()A.y=(x-2)2B.y=|ln x|C.y=xcos xD.y=e-|x,答案D偶函数需具备:定义域关于原点对称;满足f(-x)=f(x),只有D项符合,故选D.,D,2.(2017北京朝阳期中)下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是?()A.y=x-1B.y=tan xC.y=x3D.y=-,答案CA.y=x-1是非奇非偶函数,不
5、符合题意.B.y=tan x是奇函数,但在定义域上不是单调函数,不符合题意.C.y=x3是奇函数,在定义域上为增函数,符合题意.D.y=-?是奇函数,在定义域上不是单调函数,不符合题意.故选C.,C,3.(2016北京东城二模)已知函数g(x)=f(x)-x是偶函数,且f(3)=4,则f(-3)=?()A.-4B.-2C.0D.4,答案Bg(x)=f(x)-x是偶函数,g(x)=g(-x).,B,g(3)=f(3)-3=4-3=1,g(-3)=f(-3)-(-3)=1.f(-3)=-2.,4.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时, f(x)=?,则
6、f?+f(0)=.,答案-2,解析函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0, f?=-f?.函数f(x)的周期为2,f?=f?=2.f?+f(0)=-2.,-2,5.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为a-1,2a,则a=,b=.,答案?;0,解析因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=?.由函数f(x)=?x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点(图略),易得b=0.,6.(2015北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)的解析式为,不等式 f(x)0时,-x2,不等式f(x)g(1),则x的取值范围是?(
7、)A.(0,10)B.(10,+)C.?D.?(10,+),D,答案D,解析g(x)=f(|x|),g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),g(x)为偶函数.又f(x)在(0,+)上为增函数,g(x)在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数,当|x|越大时,g(x)越大,若g(lg x)g(1),则|lg x|1.lg x1或lg x10或0x0时, f(x)=ex,则f(-1)= ()A.?B.-?C.eD.-e,答案D函数f(x)是奇函数,f(-1)=-f(1)=-e.,D,1-3函数f(x-1)是R上的奇函数,?x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则f
8、(1-x)0的解集是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-,2)D.(2,+),答案C由于函数f(x-1)是R上的奇函数,故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,则有f(-1)=-f(-1),于是有f(-1)=0.?x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)-1,解得x2,故选C.,C,答案(1)D(2)1 008,解析(1)因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f?=f?=f?=4?-2=-1,故选D.(2)f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期T=2,又当x0,2)时, f(x)=2x-x2,所以f(0)=0, f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2 0
9、16)=0,f(1)=f(3)=f(5)=f(2 015)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)=1 008.,规律总结判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(2)f(x+a)=?(a0, f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(3)f(x+a)=-?(a0, f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.,2-1已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=?,当2x3时, f(x)=x,则f(
10、105.5)=.,答案2.5,解析由f(x+2)=?得f(x+4)=f(x+2)+2)=?=?=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数.f(105.5)=f(264+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5).f(x)为偶函数,且当2x3时, f(x)=x,f(105.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.,2.5,考点三函数性质的综合问题,典例4(2016北京东城(上)期中)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),对于任意x1,x20,+),?0(x2x1),则?()A.f(-1)f(-2)f(3)B.f(3)f(-1)f(-2)C.f(-2)f(-1)f(3)D.f(3)f(-2)f(-1),答案D,解析由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2), f(-1)=f(1),对于任意x1,x20,+),?0,所以当x0时, f(x)为减函数,所以f(3)f(2)f(1),即f(3)f(-2)f(-1),故选D.,D,方法技巧(1)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内,然后代入函数解
