1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（四十） 轨迹方程求解 3 方法 直接法、定义法、代入法 一、选择题 1 (2018 深圳调研 )已知点 F(0,1)，直线 l： y 1， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且 QP QF FP FQ ，则动点 P 的轨迹方程为 ( ) A x2 4y B y2 3x C x2 2y D y2 4x 解析 ：选 A 设点 P(x， y)，则 Q(x， 1) QP QF FP FQ ， (0， y 1)( x,2) (x， y 1)( x， 2)， 即 2(y 1) x2 2(y 1)，整理得 x2 4y， 动点 P 的
2、轨迹方程为 x2 4y. 2 (2018 呼和浩特调研 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)， M 为椭圆 上一动点， F1为椭圆的左焦点，则线段 MF1的中点 P 的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析：选 B 设椭圆的右焦点是 F2， 由椭圆定义可得 |MF1| |MF2| 2a 2c， 所以 |PF1| |PO| 12(|MF1| |MF2|) a c， 所以点 P 的轨迹是以 F1和 O 为焦点的椭圆 3已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)， A(1,0)， B(1,1)， C(0,1)，点 D， E 分别在线段 OC， AB 上运动，且 |OD| |B
3、E|，设 AD 与 OE 交于点 G，则点 G 的轨迹方 程是 ( ) A y x(1 x)(0 x1) B x y(1 y)(0 y1) C y x2(0 x1) D y 1 x2(0 x1) 解析：选 A 设 D(0， )， E(1,1 )， 0 1 ， 所以线段 AD 的方程为 x y 1(0 x1) ，线段 OE 的方程为 y (1 )x(0 x1) ， 联立方程组? x y 1，y x( 为参数 )，消去参数 得 =【 ;精品教育资源文库 】 = 点 G 的轨迹方程为 y x(1 x)(0 x1) 4.(2018 安徽六安一中月考 )如图，已知 F1， F2是椭圆 ： x2a2y2b
4、2 1(ab0)的左、右焦点， P 是椭圆 上任意一点，过 F2作 F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q 的轨迹为 ( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 解析：选 B 延长 F2Q 与 F1P 的延长线交于点 M，连接 OQ. 因为 PQ 是 F1PF2的外角的角平分线，且 PQ F2M， 所以在 PF2M 中， |PF2| |PM|，且 Q 为线段 F2M 的中点 又 O 为线段 F1F2的中点， 由三角形的中位线定理，得 |OQ| 12|F1M| 12(|PF1| |PF2|) 由椭圆的定义，得 |PF1| |PF2| 2a，所以 |OQ| a， 所以点 Q 的轨迹为以
5、原点为圆心，半径为 a 的圆 5已知 A(0,7)， B(0， 7)， C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A， B 的椭圆，椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 ( ) A y2 x248 1(y 1) B y2 x248 1 C y2 x248 1 D x2 y248 1 解析：选 A 由题意，得 |AC| 13， |BC| 15， |AB| 14， 又 |AF| |AC| |BF| |BC|， |AF| |BF| |BC| |AC| 2， 故点 F 的轨迹是以 A， B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的下支 c 7， a 1， b2 48， 点 F 的轨迹方程为 y2 x248 1(y
6、 1) 6 (2018 梅州质检 )动圆 M 经过双曲线 x2 y23 1 的左焦点且与直线 x 2 相切，则圆心 M 的轨迹方程是 ( ) A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 解析：选 B 双曲线 x2 y23 1 的左焦点 F( 2,0)，动圆 M 经过点 F 且与直线 x 2 相切，则圆心 M 到点 F 的距离和到直线 x 2 的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为 y2 8x. =【 ;精品教育资源文库 】 = 二、填空题 7已知 F 是抛物线 y 14x2的焦点， P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是 _ 解析：因为抛物线 x
7、2 4y 的焦点 F(0,1)， 设线段 PF 的中点坐标是 (x， y)， 则 P(2x,2y 1)在抛物线 x2 4y 上， 所以 (2x)2 4(2y 1)，化简得 x2 2y 1. 答案： x2 2y 1 8已知圆的方程为 x2 y2 4，若抛物线过点 A( 1,0)， B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是 _ 解析：设抛物线焦点为 F，过 A， B， O 作准线的垂线 AA1， BB1， OO1， 则 |AA1| |BB1| 2|OO1| 4， 由抛物线定义得 |AA1| |BB1| |FA| |FB|， |FA| |FB| 4， 故 F 点的轨迹是以 A， B
8、 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 (去掉长轴两端点 ) 所以抛物线的焦点轨迹方程为 x24y23 1(y0) 答案： x24y23 1(y0) 9 (2018 河北定州中学测试 )已知 A(1,2)， B( 1,2)，动点 P 满足 AP BP ，若双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点 ，则双曲线的离心率的取值范围是 _ 解析：由 AP BP ，可得动点 P 的轨迹方程为 x2 (y 2)2 1， 易知双曲线的一条渐近线方程为 y bax， 由题意知圆心 (0,2)到渐近线的距离大于半径 1， 所以 2ab2 a21，即 3a2b2，又 b2 c2 a
9、2， 所以离心率 e ca1，所以 1b0)的一个焦点为 ( 5， 0)，离心率为53 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若动点 P(x0， y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 解： (1)依题意得， c 5， e ca 53 ， 因此 a 3， b2 a2 c2 4， 故椭圆 C 的方程是 x29y24 1. (2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0， y0)的切线方程是 y k(x x0) y0， 则由? y k x x0 y0，x29y24 1，得 x29k x x0 y024 1， 即 (9k2 4)x2 18k(y0 kx
10、0)x 9(y0 kx0)2 4 0， 18k(y0 kx0)2 36(9k2 4)(y0 kx0)2 4 0， 整理得 (x20 9)k2 2x0y0k y20 4 0. 又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为 k1， k2， 于是有 k1k2 1，即 y20 4x20 9 1， 故 x20 y20 13(x03) 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得? x0 3，y0 2 或 ? x0 3，y0 2 或 ? x0 3，y0 2 或 ? x0 3，y0 2， 经检验知均满足 x20 y20 13. 因此，动点 P(x0， y0)的轨迹方程是 x2 y2 13. 11已知圆 M： (x
11、 1)2 y2 1，圆 N： (x 1)2 y2 9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最=【 ;精品教育资源文库 】 = 长时，求 |AB|. 解：由已知得圆 M 的圆心坐标为 M( 1,0)，半径 r1 1； 圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2 3. 设圆 P 的圆心坐标为 P(x， y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以 |PM| |PN| (R r1) (r2 R) r1 r
12、2 4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆 (左顶 点除外 )，其方程为 x24y23 1(x 2) (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)， 由于 |PM| |PN| 2R 22 ，所以 R2 ， 当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0)时， R 2. 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为 (x 2)2 y2 4. 若 l 的倾斜角为 90 ，则 l 与 y 轴重合，可得 |AB| 2 3. 若 l 的倾斜角不为 90 ，由 r1 R，知 l 不平行于 x 轴， 设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 |QP|QM| Rr1， 可
13、求得 Q( 4,0)， 所以可设 l： y k(x 4)， 由 l 与圆 M 相切得 |3k|1 k2 1，解得 k 24 . 当 k 24 时， y 24 x 2代入 x24y23 1， 并整理得 7x2 8x 8 0，解得 x1,2 46 27 . 所以 |AB| 1 k2|x2 x1| 187. 当 k 24 时，由图形的对称性可知 |AB| 187 . 综上， |AB| 2 3或 |AB| 187 . 12在平面直角坐标系 xOy 中， A， B 两点的坐标分别为 (0,1)， (0， 1)，动点 P 满足直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为 14，直线 AP， BP 与直线 y 2
14、 分别交于点 M， N. (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)求线段 MN 的最小值； (3)以线段 MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定=【 ;精品教育资源文库 】 = 点，请说明理由 解： (1)已知 A(0,1)， B(0， 1)，设动点 P 的坐标为 (x， y)， 则直线 AP 的斜率 k1 y 1x ，直线 BP 的斜率 k2 y 1x (x0) ， 又 k1k2 14， y 1x y 1x 14， 即 x24 y2 1(x0) (2)设直线 AP 的方程为 y 1 k1(x 0)，直线 BP 的方程为 y 1 k2(x 0)， 由? y 1 k
15、1x，y 2， 得 ? x 3k1，y 2， M? ? 3k1， 2 . 由? y 1 k2x，y 2， 得 ? x 1k2，y 2， N? ? 1k2， 2 . k1k2 14， |MN| ? ?3k1 1k2 ? ?3k1 4k1 2 3|k1|4| k1| 4 3， 当且仅当 3|k1| 4|k1|，即 k1 32 时等号成立， 线段 MN 长的最小值为 4 3. (3)设点 Q(x， y)是以线段 MN 为直径的圆上的任意一点，则 QM QN 0， 即 ? ?x 3k1 ? ?x 1k2 (y 2)(y 2) 0， 又 k1k2 14，故以线段 MN 为直径的圆的方程为 x2 ? ?3k1 4k1 x (y 2)2 12 0， 令 x 0，得 (y 2)2 12，解得 y 22 3， 以线段 MN 为直径的圆经过定点 (0， 2 2 3)或 (0， 2 2 3) 在平面直角坐标系中，动圆经过点 M(0， t 2)， N(0， t 2)， P( 2,0)其中 t R. (1)求动圆圆心 E 的轨迹方程； (2)过点 P 作直线 l 交轨迹 E 于不同的两点 A， B，直线 OA 与直线 OB
