1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 6 讲 解密考纲 本考点考查函数的奇偶性、周期性单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度 一、选择题 1下列函数是奇函数的是 ( A ) A f(x) x|x| B f(x) lg x C f(x) 2x 2 x D f(x) x3 1 解析 B 项， f(x) lg x 的定义域是 x0，所以不是奇函数，所以 B 项错； C 项， f(x) 2 x 2x f(x)， f(x)是偶函数，所以 C 项错； D 项， f(x) x
2、3 1 不过原点，所以 f(x)是非奇非偶函数，所以 D 项错只有 A 项，满足定义域关于原点对称，并且 f( x) f(x)，是奇函数 2已知 f(x) 3ax2 bx 5a b 是偶函数，且其定义域为 6a 1， a，则 a b ( A ) A 17 B 1 C 1 D 7 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 6a 1 a 0，所以 a 17.又因为 f(x)为偶函数，所以 3a( x)2 bx 5a b 3ax2 bx 5a b，得 b 0，所以 a b 17，故选 A 3若函数 f(x)(x R)是奇函数，函数 g(x)(x R)是偶函数，则 ( C ) A函数 f(g(x)是
3、奇函数 B函数 g(f(x)是奇函数 C函数 f(x) g(x)是奇函数 D函数 f(x) g(x)是奇函数 解析 令 h(x) f(x) g(x)， 函数 f(x)是奇函数，函数 g(x)是偶函数， f( x) f(x)， g( x) g(x)， h( x) f( x) g( x) f(x) g(x) h(x)， h(x)f(x) g(x)是奇函数，故选 C 4 (2018 重庆模拟 )已知函数 y f(x)是奇函数，当 x0 时， f(x) lg x，则 f? ?f? ?1100 ( D ) A 1lg 2 B 1lg 2 C lg 2 D lg 2 解析 因为当 x0 时， f(x) l
4、g x，所以 f? ?1100 lg 1100 2， 则 f? ?f? ?1100 f( 2) f(2) lg 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2018 河南南阳模拟 )函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x 0,2时， f(x) x 1，则不等式 xf(x)0 在 1,3上的解集为 ( C ) A (1,3) B ( 1,1) C ( 1,0) (1,3) D ( 1,0) (0,1) 解析 f(x)的图象如图 当 x 1,0)时，由 xf(x)0 得 x ( 1,0)； 当 x 0,1)时， xf(x)0 无解； 当 x 1,3时，由 xf(x)0 得 x (1,3)
5、故 x ( 1,0) (1,3) 6已知 f(x)是偶函数，且 f(x)在 0， ) 上是增函数，如果 f(ax 1) f(x 2)在 x ? ?12， 1 时恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( D ) A 2,1 B 5,0 C 5,1 D 2,0 解析 因为 f(x)是偶函数，在 0， ) 上是增函数，如果 f(ax 1) f(x 2)在 x?12， 1 时恒成立，则 |ax 1|2 x，即 x 2 ax 12 x.由 ax 12 x，得 ax1 x，a 1x 1，而 1x 1 在 x 1 时取得最小值 0，故 a0. 同理， x 2 ax 1 时， a 2，所以a 的取值范围是 2,0
6、 二、填空题 7已知偶函数 f(x)在 0， ) 上单调递减，若 f(2x 1)f? ?53 成立，则 x 的取值范围是 _? ? 13， 43 _. 解析 因为偶函数 f(x)在区间 (0， ) 上单调递减，所以由 f(2x 1)f? ?53 ，得 f(|2x 1|)f? ?53 ， |2x 1|f(3x 6)成立的 x 的取值范围是 _( ，2) (3， ) _. 解析 函数 f(x) x1 |x|为奇函数，当 x0 时， f(x) 1 11 x，可得 f(x)在 (0， )上单调递增，由奇函数的性质，可得 f(x)在 R 上单调递增，则由 f(x2 2x)f(3x 6)，可得 x2 2x
7、3x 6，解得 x3. 三、解答题 10已知函数 f(x)? x2 2x， x0，0， x 0，x2 mx， x0， 所以 f( x) ( x)2 2( x) x2 2x， 又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)， 于是当 x 1，a 21 ， 所以 10 时， f(x) log12x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x2 1) 2. 解析 (1)当 x0， 所以 f(x) f( x) log12( x)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故函数 f(x)的解析式为 f(x)? log12x， x0，0， x 0，log12 x ， x 2 可化为 f(|x
8、2 1|)f(4)又因为函数 f(x)在 (0， ) 上是减函数，所以 |x2 1|4，解得 5x 5， 即不等式的解集为 ( 5， 5) 12已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2，且当 x (0,1)时， f(x) 2x4x 1. (1)求 f(1)和 f( 1)的值； (2)求 f(x)在 1,1上的解析式 解析 (1) f(x)是周期为 2 的奇函数， f(1) f(1 2) f( 1) f(1)， f(1) 0， f( 1) 0. (2)由题意知， f(0) 0.当 x ( 1,0)时， x (0,1) 由 f(x)是奇函数，得 f(x) f( x) 2 x4 x 12x4x 1， 综上，在 1,1上， f(x)? 2x4x 1， x ， ， 2x4x 1， x 1， ，0， x 1， 0， 1.
