1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 38 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解密考纲 考查点、线、面的位 罝 关系，常以选择题或填空题的形式出现 一、选择题 1设 a， b 是平面 内两条不同的直线， l 是平面 外的一条直线，则 “ l a， l b”是 “ l ” 的 ( C ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析 直线 a， b 平行时，由 “ l a， l b” ?/ “ l ” ； “ l ” ?“ l a， l b” ，所以 “ l a， l b” 是 “ l ” 的必要不充分条件 2如图所示， ABCD A1B1C1D1是长方体，
2、O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是 ( A ) A A， M， O 三点共线 B A， M， O， A1不共面 C A， M， C， O 不共面 D B， B1， O， M 共面 解析 连接 A1C1， AC，则 A1C1 AC， A1， C1， C， A 四点共面 A1C?平面 ACC1A1. M A1C， M 平面 ACC1A1. 又 M 平面 AB1D1， M 为平面 ACC1A1与 AB1D1的公共点 同理 O， A 为平面 ACC1A1与平面 AB1D1的公共点 A， M， O 三 点共线 3正方体 A1C 中， E， F 分别是线段
3、 BC， CD1的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是 ( A ) A相交 B异面 C平行 D垂直 解析 如图所示，直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1， EF?平面 A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交 4已知空间中有三条线段 AB， BC 和 CD，且 ABC BCD，那么直线 AB 与 CD 的位置关系是 ( D ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A AB CD B AB 与 CD 异面 C AB 与 CD 相交 D AB CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 解析 若三 条线段共面，如果 AB， BC， CD 构成等腰三角形
4、，则直线 AB 与 CD 相交，否则直线 AB 与 CD 平行；若不共面，则直线 AB 与 CD 是异面直线 5 (2018 黑龙江哈尔滨六中期中 )下列命题正确的个数是 ( B ) 梯形的四个顶点在同一平面内； 三条平行直线必共面； 有三个公共点的两个平面必重合； 每两条相交且交点各不相同的四条直线一定共面 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 对于 ，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以 正确；对于 ，如三棱柱的三条侧棱相互平行但不共面，故三条平行线 可共面，也可不共面，所以 不正确；对于 ，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故 不正确；对于 ，由平面的性质可得满足条件的四条
5、直线必共面，故 正确综上， 正确故选 B 6 (2017 全国卷 )如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( A ) 解析 方法一 对于 B 项，如图所示连接 CD，因为 AB CD， M， Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ CD，所以 AB MQ，又 AB?平面 MNQ， MQ?平面 MNQ，所以 AB 平面 MNQ，同理可证C， D 项中均有 AB 平面 MNQ.故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法二 对于 A 项，设正方体的底面对角线的交点为 O(如图所示 )，连
6、接 OQ，则 OQAB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行故选 A 二、填空题 7已知 a， b 为异面直线，直线 c a，则直线 c 与 b 的位置关系是 _相交或异面 _. 解析 直线的位置关系有三种：相交、异面、平行因为 a， b 为异面直线， c a，所以 c 与 b 不平行，故 c 与 b 可能相交或异面 8四棱锥 P ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 上 的投影恰好是 A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为 a的等腰三角形，则在四棱锥 P ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有
7、_6_对 解析 由题意可得 PA BC， PA CD， AB PD， BD PA， BD PC， AD PB，即互相垂直的异面直线共有 6 对 9如图所示，正方形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD 的中点，将此正方形沿 EF 折成直二面角后，异面直线 AF 与 BE 所成角的余弦值为 _12_. 解析 如图，取 BC 的中点 H，连接 FH， AH， BE FH， AFH 即为异面直线 AF 与 BE 所成的角 过 A 作 AG EF 于 G，则 G 为 EF 的中点 连接 HG， HE，则 HGE 是直角三角形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设正方形边长为 2， 则 EF
8、2， HE 2， EG 22 ， HG 2 12 102 ， AH 52 12 3. 由余弦定理知 cos AFH AF2 HF2 AH22 AF HF 12 22 3212 12. 三、解答题 10如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是棱 CD， CC1的中点，求异面直线 A1M与 DN 所成的角的大小 解析 如图，连接 D1M，可证 D1M DN. 又 A1D1 DN， A1D1， MD1?平面 A1MD1， A1D1 MD1 D1， DN 平面 A1MD1， DN A1M，即异面直线 A1M 与 DN 所成的夹角为 90. 11如图，四边形 ABEF 和 ABC
9、D 都是直角梯形， BAD FAB 90 ， BC 12AD， BE 12FA， G， H 分别为 FA, FD 的中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？ 解析 (1)证明：由已知 FG GA， FH HD， =【 ;精品教育资源文库 】 = 可得 GH 12AD. 又 BC 12AD， GH BC. 四边形 BCHG 为平行四边形 (2)由 BE 12AF， G 为 FA 的中点，知 BE FG， 四边形 BEFG 为平行四边形 EF BG.由 (1)知 BG CH， EF CH， EF 与 CH 共面 又 D FH， C， D
10、， F， E 四点共面 12如图所示，在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC， BAC 60 ， PA AB AC 2， E 是 PC 的中点 (1)求证： AE 与 PB 是异面直线； (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值； (3)求三棱锥 A EBC 的体积 解析 (1)证明：假设 AE 与 PB 共面，设平面为 . 因为 A ， B ， E ，所以平面 即为平面 ABE， 所以 P 平面 ABE，这与 P?平面 ABE 矛盾，所以 AE 与 PB 是异面直线 (2)取 BC 的中 点 F，连接 EF， AF， 则 EF PB，所以 AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成的角， 因为 BAC 60 ， PA AB AC 2， PA 平面 ABC， 所以 AF 3， AE 2， EF 2， 由余弦定理得 cos AEF 2 2 32 2 2 14， 所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 14. =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)因为 E 是 PC 的中点， 所以点 E 到平面 ABC 的距离为 12PA 1， VA EBC VE ABC 13 ? ?1222 32 1 33 .
