1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 40 讲 直线、平面垂直的判定及其性质 解密考纲 对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等 一、选择题 1若 ， 表示两个不同的平面，直线 m? ，则 “ ” 是 “ m ” 的 ( B ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由面面垂直判定定理，得 m ? ，而 时， 内任意直线不可能都垂直于 ，因此 “ ” 是 “ m ” 的必要不 充分条件故选 B 2已知平面 平面 ， l，点 A ， A?l，直线 AB l
2、，直线 AC l，直线 m ， m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( D ) A AB m B AC m C AB D AC 解析 如图所示， AB l m； AC l， m l?AC m； AB l?AB ，只有 D 项不一定成立故选 D 3在空间中， l， m， n， a， b 表示直线， 表示平面，则下列命题正确的是 ( D ) A若 l ， m l，则 m B若 l m， m n，则 l n C若 a ， a b，则 b D若 l ， l a，则 a 解析 对于 A 项， m 与 位置关系不确定，故 A 项错；对于 B 项，当 l 与 m， m 与 n 为异面垂直时， l 与
3、 n 可能异面或相交，故 B 项错；对于 C 项，也可能 b? ，故 C 项错；对于 D 项，由线面垂直的定义可知正确 4如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中， BAC 90 ， BC1 AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( A ) A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 AC 上 D ABC 内部 解析 AC AB， AC BC1， AC 平面 ABC1. 又 AC?平面 ABC， 平面 ABC1 平面 ABC. C1在面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线AB 上 5如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD 45 ， BAD 90 ，将
4、ABD=【 ;精品教育资源文库 】 = 沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD，构成三棱锥 A BCD，则在三棱锥 A BCD 中，下列命题正确的是 ( D ) A平面 ABD 平面 ABC B平面 ADC 平面 BDC C平面 ABC 平面 BDC D平面 ADC 平面 ABC 解析 在平面图形中 CD BD，折起后仍有 CD BD，由于平面 ABD 平面 BCD，故 CD平面 ABD， CD AB，又 AB AD，故 AB 平面 ADC，所以平面 ABC 平面 ADC. 6如图所示， AB 是 O 的直径， VA 垂直于 O 所在的平面，点 C 是圆周上不同于 A， B的任意一点，
5、M， N 分别为 VA， VC 的中点，则下列结论正确的是 ( D ) A MN AB B MN 与 BC 所成的角为 45 C OC 平面 VAC D平面 VAC 平面 VBC 解析 对于 A 项， MN 与 AB 异面，故 A 项错；对于 B 项，可证 BC 平面 VAC，故 BC MN，所以所成的角为 90 ，因此 B 项错；对于 C 项， OC 与 AC 不垂直，所以 OC 不可能垂直 平面VAC，故 C 项错；对于 D 项，由于 BC AC， VA 平面 ABC， BC?平面 ABC，所以 VA BC，因为 AC VA A，所以 BC 平面 VAC， BC?平面 VBC，所以平面 V
6、AC 平面 VBC，故 D 项正确 二、填空题 7已知不同直线 m， n 与不同平面 ， ，给出下列三个命题： 若 m ， n ，则 m n； 若 m ， n ，则 n m； 若 m ， m ，则 . 其中真命题的个数是 _2_. 解析 平行于同一平面的两直线不一定平行，所以 错误 根据线面垂直的性质可知 正确 根据面面垂直的性质和判 定定理可知 正确，所以真命题的个数是 2. 8如图所示，在直角梯形 ABCD 中， BC DC， AE DC， N， M 分别是 AD， BE 的中点， 将三角形 ADE 沿 AE 折起，下列说法正确的是 _ _(填上所有正确说法的序号 ) 不论 D 折至何位置
7、 (不在平面 ABC 内 )都有 MN 平面 DEC； =【 ;精品教育资源文库 】 = 不论 D 折至何位置都有 MN AE； 不论 D 折至何位置 (不在平面 ABC 内 )都有 MN AB. 解析 如图，分别取 EC， DE 的中点 P， Q，由已知易知四边形 MNQP 为平行四边形，则 MN PQ，又 PQ?平面 DEC，故 MN 平面 DEC. 正确 取 AE 的中点 O，易证 NO AE， MO AE.故 AE 平面 MNO，又 MN?平面 MNO，则 AEMN. 正确 D?平面 ABC， N?平面 ABC，又 A， B， M 平面 ABC. MN 与 AB 异面 错误 9如图，在
8、直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， ADC 90 ，且 AA1 AD DC 2， M 平面ABCD，当 D1M 平面 A1C1D 时， DM 2 2 . 解析 DA DC AA1 DD1，且 DA， DC， DD1两两垂直，故当点 M 使四边形 ADCM 为正方形时， D1M 平 面 A1C1D， DM 2 2. 三、解答题 10 如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，侧面 ADD1A1和侧面 CDD1C1都是矩形， BC AD， ABD 是边长为 2 的正三角形， E， F 分别为 AD， A1D1的中点 (1)求证： DD1 平面 ABCD； (2)求证：平面 A1BE 平
9、面 ADD1A1； (3)若 CF 平面 A1BE，求棱 BC 的长度 解析 (1)证明：因为侧面 ADD1A1 和侧面 CDD1C1 都是矩形，所以 DD1 AD，且 DD1 CD.因为 AD CD D，所以 DD1 平面 ABCD. (2)证明：因为 ABD 是正三角形，且 E 为 AD 中点，所以 BE AD，因为 DD1 平面 ABCD，=【 ;精品教育资源文库 】 = 而 BE?平面 ABCD，所以 BE DD1.因为 AD DD1 D，所以 BE 平面 ADD1A1，又因为 BE?平面A1BE，所以平面 A1BE 平面 ADD1A1. (3)因为 BC AD，而 F 为 A1D1的
10、中点，所以 BC A1F，所以 B， C， F， A1四点共面因为CF 平面 A1BE，而平面 BCFA1 平面 A1BE A1B，所以 CF A1B，所以四边形 BCFA1是平行四边形，所以 BC FA1 12AD 1. 11如图，四边形 ABCD 为正方形， EA 平面 ABCD， EF AB， AB 4， AE 2， EF 1. (1)求证： BC AF； (2)试判断直线 AF 与平面 EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由 解析 (1)证明：因为 EF AB，所以 EF 与 AB 确定平面 EABF. 因为 EA 平面 ABCD，所以 EA BC. 由已知得 AB
11、 BC，且 EA AB A，所以 BC 平面 EABF. 又 AF?平面 EABF，所以 BC AF. (2)直线 AF 垂直于平面 EBC.证明如下：由 (1)知， AF BC. 在四边形 EABF 中， AB 4， AE 2， EF 1， BAE AEF 90 ， 所以 tan EBA tan FAE 12，则 EBA FAE. 设 AF BE P，因为 PAE PAB 90 ， 故 PBA PAB 90 ，则 APB 90 ，即 EB AF. 所以 AF BE， AF BC，且 EB BC B， 所以 AF 平面 EBC. 12 (2016 浙江卷 )如图，在三棱台 ABC DEF 中，
12、平面 BCFE 平面 ABC， ACB 90 ，BE EF FC 1， BC 2， AC 3. (1)求证： BF 平面 ACFD； (2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 解析 (1)证明：延长 AD， BE， CF 相交于一点 K，如图所示 因为平面 BCFE 平面 ABC，且 AC BC， 所以 AC 平面 BCK，因此 BF AC. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又因为 EF BC， BE EF FC 1， BC 2，所以 BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF CK， 所以 BF 平面 ACFD. (2)因为 BF 平面 ACK，所以 BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角 在 Rt BFD 中， BF 3， DF 32，得 cos BDF DFBD DFBF2 DF2 217 ， 所以直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 217 .
