1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 古典概型 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 基本事件的特点 1任何两个基本事件是 互斥 的 2任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成 基本事件 的和 考点 2 古典概型 1古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 2古典概型的概率公式 P(A) A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 必会结论 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征 有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概 型正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的
2、打 “” ，错误的打 “”) (1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同 ( ) (2)从 3， 2， 1,0,1,2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同 ( ) (3)利用古典概型的概率公式求 “ 在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1” 的概率 ( ) (4)“ 从长为 1 的线段 AB 上任取一点 C，求满足 AC 13的 概率是多少 ” 是古典概型 . ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 2018 武汉调研 同时抛掷两颗均匀的骰子，则向上的
3、点数之差的绝对值为 4 的概率为 ( ) A.118 B.112 C.19 D.16 答案 C 解析 同时抛掷两颗骰子，基本事件总数为 36，记 “ 向上的点数之差的绝对值为 4” 为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有 (1,5)， (2,6)， (5,1)， (6,2)，共 4 种，故 P(A) 43619. 3.某天下课以后，教室里还剩下 2 位男同学和 2 位女同学如果他们依次走出教室，则第 2 位走出的是男同学的概率为 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 A 解析 已知 2 位女同学和 2 位男同学走出的所有可能顺序有 (女，女，男，男 )， (女，男，女，男 )
4、， (女，男，男，女 )， (男，男，女，女 )， (男，女，男，女 )， (男，女，女，男 )，所以第 2 位走出的是男同学的概率是 P 36 12. 4 2016 全国卷 为美化环境，从红，黄，白，紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C 解析 从红，黄，白，紫 4 种颜色的花中任选 2 种有以下选法： (红，黄 )， (红，白 )，(红，紫 )， (黄，白 )， (黄，紫 )， (白，紫 )，共 6 种，其中红色和紫色的花不在 同一花坛 (亦即黄色和白色
5、的花不在同一花坛 )的选法有 4 种，所以所求事件的概率 P 46 23.故选 C. 5甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 _ 答案 13 解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种的所有可能情况为 (红，白 )， (白，红 )， (红，蓝 )， (蓝，红 )， (白，蓝 )， (蓝，白 )， (红，红 )，(白，白 )， (蓝，蓝 )，共 9 种，他们选择相同 颜色运动服的所有可能情况为 (红，红 )， (白，白 )， (蓝，蓝 )，共 3 种故所求概率为 P 39 13. 6 2
6、018 兰州诊断 从 2 本不同的数学书和 2 本不同的语文书中任意抽出 2 本书 (每本书被抽中的机会相等 )，则抽出的书是同一学科的概率等于 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 13 解析 数学书为 a1， a2，语文书为 b1， b2，从中任取两本，基本事件为 a1a2， a1b1， a1b2，a2b2， a2b1， b1b2，其中抽出的书是同一学科的取法共有 a1a2， b1b22 种 ，因此所求的概率等于2613. 板块二 典例探究 考向突破 考向 简单的古典概型 例 1 (1)2017 全国卷 从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽
7、取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( ) A.110 B.15 C.310 D.25 答案 D 解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基 本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10， 所求概率 P 1025 25.故选 D. (2)2017 山东高考 从分别标有 1,2， ? ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ( ) A.518 B.49 C.59 D.79 答案 C 解析 9 张卡片中有 5 张奇数卡片， 4 张
8、偶数卡片，且为不放回地随机抽取， P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数 ) 59 48 518， P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数 ) 49 58 518. P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同 ) 518 518 59.故选 C. 触类旁通 求古典概型概率的步骤 (1)读题，理解题意； (2)判断试验结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； (3)分别求出基本事件总数 n 与 所求事件 A 所包含的基本事件的个数 m； (4)利用公式 P(A) mn求出事件 A 的概率 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【变式训练 1】 (1)2017 天津高考 有 5 支彩笔 (除颜色外无差别 )，颜色
9、分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 C 解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿 、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P 410 25.故选 C. (2)2018 海淀一模 现有 7 名数理化成绩优秀者，分别用 A1， A2， A3， B1， B2， C1， C2表示，其中 A1， A2， A3的数学成绩优秀， B1，
10、B2的物理成绩优秀， C1， C2的化学成绩优秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则 A1和 B1不全被选中的概率为 _ 答案 56 解析 从这 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，所有可能的结果组成的12 个基本事件为： (A1， B1， C1)， (A1， B1， C2)， (A1， B2， C1)， (A1， B2， C2)， (A2， B1， C1)，(A2， B1， C2)， (A2， B2， C1)， (A2， B2， C2)， (A3， B1， C1)， (A3， B1， C2)， (A3， B2， C1)， (A3，B2，
11、 C2) 设 “ A1和 B1不全被选中 ” 为事件 N，则其对立事件 N 表示 “ A1和 B1全被选中 ” ，由于 N (A1， B1， C1)， (A1， B1， C2)，所以 P(N ) 212 16，由对立事件的概率计算公式得 P(N) 1 P(N ) 1 16 56. 考向 较复杂的古典概型问题 命题角度 1 古典概型与平面几何相结合 例 2 2018 洛阳统考 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a， b，则直线 ax by 0 与圆 (x 2)2 y2 2 有公共点的概率为 _ 答案 712 解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组 (a， b)有 (1,1)
12、，(1,2)， (1,3)， ? ， (6,6)，共 36 种，其中满足直线 ax by 0 与圆 (x 2)2 y2 2 有公共点，即满足 2aa2 b2 2， a2 b2的数组 (a， b)有 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， ? ， (6,6)，共 6 5 4 3 2 1 21 种，因此所求的概率等于 2136 712. 命题角度 2 古典概型与函数相结合 例 3 已知 M 1,2,3,4，若 a M， b M，则函数 f(x) ax3 bx2 x 3 在 R 上为增=【 ;精品教育资源文库 】 = 函数的概率是 ( ) A.916 B.716 C.14 D.316
13、 答案 A 解析 记事件 A 为 “ 函数 f(x) ax3 bx2 x 3 在 R 上为增函数 ” 因为 f(x) ax3bx2 x 3，所以 f( x) 3ax2 2bx 1.当函数 f(x)在 R 上为增函 数时， f( x)0 在 R 上恒成立又 a0，所以 (2b)2 43 a 4b2 12a0 在 R 上恒成立，即 a b23. 当 b 1 时，有 a 13，故 a 可取 1,2,3,4，共 4 个数； 当 b 2 时，有 a 43，故 a 可取 2,3,4，共 3 个数； 当 b 3 时，有 a3 ，故 a 可取 3,4，共 2 个数； 当 b 4 时，有 a 163 ，故 a
14、无可取值 综上，事件 A 包含的基本事件有 4 3 2 9 种 又 a， b 1,2,3,4，所以所有的基本事件共有 44 16 种 故所求事件 A 的概率为 P(A) 916.故选 A. 命题角度 3 古典概型与平面向量相结合 例 4 2018 宿迁模拟 已知 k Z， AB (k,1)， AC (2,4)，若 |AB|4 ，则 ABC是直角三角形的概率是 _ 答案 37 解析 因为 |AB| k2 14 ， 所以 15 k 15， 因为 k Z，所以 k 3， 2， 1,0,1,2,3， 当 ABC 为直角三角形时，应有 AB AC，或 AB BC，或 AC BC，由 AB AC 0，得
15、2k 4 0，所以 k 2，因为 BC AC AB (2 k,3)，由 AB BC 0，得 k(2 k) 3 0，所以 k 1 或 3， 由 AC BC 0，得 2(2 k) 12 0，所以 k 8(舍去 )，故使 ABC 为直角三角形的 k 值为 2， 1 或 3，所以所求概率 P 37. 触类旁通 较复杂的古典概型问题的求解方法 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基=【 ;精品教育资源文库 】 = 本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式 进行计算 核心规律 古典概型的两种破题技巧 (1)树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求另外在确定基本事件时， (x， y)可以看成是有序的，如 (1,2)与 (2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如 (1,2)与 (2,1)相同 (2)含有 “ 至多 ”“ 至少 ” 等类型的
