1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 直线、平面平行的判定及性质 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 直线与平面平行 1判定定理 2性质定理 考点 2 平面与平面平行 1判定定理 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2性质定理 必会结论 1垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a ， a ，则 . 2垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a ， b ，则 a b. 3平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ， ，则 . 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ( ) (2)如果两个
2、平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 ( ) (3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a .( ) (4)平行于同一平面的两条直线平行 ( ) (5)若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l .( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 2018 乌鲁木齐二诊 已知直线 l， m，其中只有 m 在平面 内，则 “ l ” 是 “ l m” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若 l ，则 l 与 内的直线平行或异面；若 l m， l 不在平面 内，则
3、l ，所以 “ l ” 是 “ l m” 的必要不充分条件故选 B. 3 2018 湖南长沙模拟 已知 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( ) A m ， n ，则 m n B m n， m ，则 n C m ， m ，则 D ， ，则 答案 C 解析 对于 A， 平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故 A 不正确； 对于 B， m n， m ，则 n 或 n? ，故 B 不正确； 对于 C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知 C 正确； 对于 D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故 D 不正确故选C.
4、4 2017 全国卷 如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( ) 答案 A 解析 A 项，作如图 所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD AB. QD 平面 MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交， 直线 AB 与平面 MNQ 相交 B 项，作如图 所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， =【 ;精品教育资源文库 】 = AB MQ. 又 AB?平面 MNQ， MQ?平面 MNQ， AB 平面 MNQ. C 项，作如图 所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ
5、， AB MQ. 又 AB?平面 MNQ， MQ?平面 MNQ， AB 平面 MNQ. D 项，作如图 所示的辅助线，则 AB CD， CD NQ， AB NQ. 又 AB?平面 MNQ， NQ?平面 MNQ， AB 平面 MNQ. 故选 A. 板块二 典例探究 考向突 破 考向 有关平行关系的判断 例 1 2016 全国卷 ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 m n， m ， n ，那么 . 如果 m ， n ，那么 m n. 如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有 _ (填写所有正确命题的编号 ) 答案 解析 由 m
6、n， m ，可得 n 或 n 在 内，当 n 时， 与 可能相交，也可能平行，故 错易知 都正确 触类旁通 解决有关线面平行、 面面平行的基本问题要注意 (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件 “ 线在面外 ”易忽视 (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 【变式训练 1】 2018 潍坊模拟 已知 m， n， l1， l2表示直线， ， 表示平面若m? ， n? ， l1? ， l2? ， l1 l2 M，则 的一个充分条件是 ( ) A m 且 l1 B m 且 n C
7、m 且 n l2 D m l1且 n l2 答案 D 解 析 由定理 “ 如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ” 可得，由选项 D 可推知 .故选 D. 考向 直线与平面平行的判定与性质 命题角度 1 用线线平行证明线面平行 例 2 2016 全国卷 如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， AD BC， AB AD AC 3， PA BC 4， M 为线段 AD 上一点， AM 2MD， N 为 PC 的中点 (1)证明： MN 平面 PAB； (2)求四面体 N BCM 的体积 解 (1)证 明：由已知得 AM 23AD 2，取 BP 的中
8、点 T，连接 AT， TN，由 N 为 PC 的中点知 TN BC， TN 12BC 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 AD BC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT. 因为 AT?平面 PAB， MN?平面 PAB，所以 MN 平面 PAB. (2)因为 PA 平面 ABCD， N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 12PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 AB AC 3，得 AE BC， AE AB2 BE2 5. 由 AM BC，得 M 到 BC 的距离为 5， 故 S BCM 124 5 2 5. 所以四面体
9、N BCM 的体积 VN BCM 13 S BCM PA2 4 53 . 命题角度 2 用线面平行证明线线平行 例 3 2018 长春一调 如图所示， E 是以 AB 为直径的半圆弧上异于 A， B 的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面 (1)求证： EA EC； (2)设平 面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F. 求证： EF AB. 证明 (1) E 是半圆上异于 A， B 的点， AE EB. 又 平面 ABCD 平面 ABE， 平面 ABCD 平面 ABE AB， CB AB， CB 平面 ABE. 又 AE?平面 ABE， =【 ;精品教育资源文库 】 = CB AE
10、. BC BE B， AE 平面 CBE. 又 EC?平面 CBE. AE EC. (2) CD AB， AB?平面 ABE. CD 平面 ABE. 又 平面 CDE 平面 ABE EF. CD EF. 又 CD AB. EF AB. 触类旁通 判断或证明线面平行 的常用方法 (1)利用线面平行的定义 (无公共点 )； (2)利用线面平行的判定定理 (a? ， b? ， a b?a )； (3)利用面面平行的性质定理 ( ， a? ?a )； (4)利用面面平行的性质 ( ， a? ， a? ， a ?a ) 考向 面面平行的判定及性质 例 4 2018 云南模拟 如图所示的几何体 ABCDF
11、E 中， ABC， DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC. (1)求几何体 ABCDFE 的体积； (2)证明：平面 ADE 平面 BCF. 解 (1)取 BC 的中点 O， ED 的中点 G，连接 AO， OF， FG， AG. AO BC， AO?平面 ABC，平面 BCED 平面 ABC， AO 平面 BCED.同理 FG 平面 BCED. AO FG 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = VABCDFE 134 32 8 33 . (2)证明：由 (1)知 AO FG， AO FG， 四边形 AOFG 为平行四
12、边形， AG OF. 又 DE BC， DE AG G， DE?平面 ADE， AG?平面 ADE， FO BC O， FO?平面 BCF，BC?平面 BCF， 平面 ADE 平面 BCF. 触类旁通 判定面面平行的方法 (1)利用定义：即证两个平面没有公共点 (不常用 ) (2)利用面面平行的判定定理 (主要方法 ) (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行 (客观题可用 ) (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行 (客观题可用 ) 【变式训练 2】 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1，A1
13、C1的中点求证： (1)B， C， H， G 四点共面； (2)平面 EFA1 平面 BCHG. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 (1) G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点， GH 是 A1B1C1的中位线， GH B1C1. 又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面 (2) E， F 分别是 AB， AC 的中点， EF BC. EF?平面 BCHG， BC?平面 BCHG， EF 平面 BCHG. A1G 綊 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形， A1E GB. A1E?平面 BCHG， GB?平面 BCHG， A1E 平面 BCHG. A
14、1E EF E， 平面 EFA1 平面 BCHG. 核心规律 1.平行问题的转化关系 2.判断直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 满分策略 证明平行问题应注意的三个问题 (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误 (2)在面面平行的判定中易忽视 “ 面内两条相交直线 ” 这一条件 (3)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交 . 板块三 启智培优 破译高考 规范答题系列 4 证明线面平行的两种常用方法 2015 山东高考 如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE， G， H 分别为 AC， BC 的中点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 求证： BD 平面 FGH. 解题视点 证法一：证明四边形 DFCG 为平行四边形，结合 H 为 BC 的中点， M 为 DC 的
