1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 函数综合 测试 题 02 9、已知函数 223( ) ( )mmf x x m Z? ? ?为偶函数，且 (3) (5).ff? （ 1）求 m 的值，并确定 ()fx的解析式； （ 2）若 )(log)( axxfxg a ? ， )10( ? aa 且 在 3,2 上为增函数，求实数 a 的取值范围。 解：（ 1）由 222 3 2 3( 3 ) ( 5 ) , 3 5 ,m m m mff ? ? ? ? ? ?知 22 3 233( ) 1 , 2 3 0 , 152mm m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即，又 , 0,1m Z
2、 m? ? ? 当 22 3 30 ( ) mmm f x x x? ? ? ? ?时， 为奇函数，不合题意，舍去； 当 22 3 21 ( ) mmm f x x x? ? ? ? ?时， 为偶函数，满足题设，故 ? ? 21,m f x x?。 （ 2） 2( ) log ( ).ag x x ax?令 2( ) ,u x x ax?，若 0 1, log aa y u? ? ?则 在其定义域内单调递减，要使 ( ) 2,3gx在 上单调递增，则需 2( ) 2,3u x x ax? 在 上递减，且 ( ) 0ux? ， ?039)3(32aua ，即 ?a ，若 1, logaa y u
3、?则 在其定义域内单调递增，要使( ) 2,3gx在 上单调递增，则需 2( ) 2,3u x x ax? 在 上递增，且 ( ) 0ux? ，?024)2(22aua ，即21 ?a ； 综上所述，实数 a 的取值范围是 21 ?a 。 10、对 定义在 0,1 上，并且同时满足以下两个条件的 函 数 ()fx称 为 G 函数 ， 对任意的0,1x? ， 总有 ( ) 0fx? ； 当 1 2 1 20 , 0 , 1x x x x? ? ? ?时，总有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ?成立 ；已知函数 2()g x x? 与 ( ) 2xh x b?
4、是定义在 0,1 上的函数。 （ 1） 试 问函数 ()gx是否为 G 函数 ？ 并说明理由； （ 2）若函数 ()hx 是 G 函数，求实数 b 组成 的集合 。 解：（ 1）当 ? ?0,1x? 时， 总有 2g x x 0()?，满足 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 1 2 1 20 , 0 , 1x x x x? ? ? ?时， 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2g x x x x x x 2 x x x x g x g x( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，满足 ； （ 2） xh x 2 b x 0 1( )
5、 ( , )? ? ?为增函数， hx()? h 0 1 b 0()? ? ? b1?； 由 1 2 1 2h x x h x h x( ) ( ) ( )? ? ?，得 1 2 1 2x x x x2 b 2 b 2 b? ? ? ? ? ?，即 11xxb 1 2 1 2 1( )( )? ? ? ?； 因为 1 2 1 20 , 0 , 1x x x x? ? ? ?， 所以 1x0 2 1 1? ? ? ， 2x0 2 1 1? ? ? ， 1x 与 2x 不同时等于 1 11xx0 2 1 2 1 1( )( )? ? ? ? ? 11xx0 1 2 1 2 1 1( )( )? ?
6、 ? ? ? ?， 当 12x x 0?时， 11xx1 2 1 2 1 1m a x( ( )( )? ? ? ?b1?， 综合， b1? 。 11、已知函数xx axf 22)( ?。 （ 1）将 )(xfy ? 的图象向右平移两个单位，得到函数 )(xgy? ，求函数 )(xgy? 的解析式； （ 2）函数 )(xhy? 与函数 )(xgy? 的图象关于直线 1?y 对 称，求函数 )(xhy? 的解析式； （ 3）设 )()(1)( xhxfaxF ? ，已知 )(xF 的最小值是 m 且 72?m ，求实数 a 的取值范围。 解：（ 1） ? ? ? ? ;22222 ? ? xx
7、axfxg（ 2）设 ? ?xhy? 的图象上一点 ? ?yxP , ，点 ? ?yxP , 关于 1?y 的对称点为 ? ?yxQ ?2, ， 由点 Q 在 ? ?xgy? 的图象上，所以 yaxx ? ? 222 22， 于是 ,22222 ? ? xx ay即 ? ? ;22222 ? ? xx axh（ 3） 22 )14(2411)()(1)( ? ? xx aaxhxfaxF； 设 xt 2? ，则 21444)( ? tataaxF ； 问题转化为： 7221444 ? tataa ，对 0?t 恒成立， 即： ? ? 014744 2 ? attaa ，对 0?t 恒成立。（
8、*） 故必有 044 ?aa （否则，若 044 ?aa ，则关于 t 的二次函数 ? ?14744)( 2 ? attaatu开口向下，当 t 充分大时，必有 ? 0?tu ；而当 044 ?aa 时，显然不能保证（ *）成立），此时，=【 ;精品教育资源文库 】 = 由于二次函数 ? ?14744)( 2 ? attaatu 的对称轴方程为 0442 7 ?aat， 所以，问题等价于 0?t ，即? ?0144447044aaaaa，解之得： 221 ?a ； 此时， 014,044 ? aaa ，故 21444)( ? tataaxF 在aaat ? ? 4 )14(4取得最小值? ?
9、214442 ? aaam 满足条件。 点评： 紧扣二次函数的顶点式 ,44222a bacabxay ? ?对称轴、最值、判别式显合力。 12、对于在区间 ? ?nm, 上有意义的两个函数 ?xf 与 )(xg ，如果对任意的 ? ?nmx ,? ，均有 1)()( ? xgxf ，则称 ?xf 与 )(xg 在 ? ?nm, 上是接近的，否则称 ?xf 与 )(xg 在 ? ?nm, 上是非接近的，现有两个函数 )3(log)(1 axxf a ? 与 )1,0(1lo g)(2 ? aaaxxf a，给定区间 ? ?3,2 ? aa 。 （ 1）若 )(1xf 与 )(2 xf 在给定区
10、间 ? ?3,2 ? aa 上都有意义，求实数 a 的取值范围； （ 2）讨论 )(1xf 与 )(2 xf 在给定区间 ? ?3,2 ? aa 上是否是接近的。 解：（ 1）两个函数 )3(log)(1 axxf a ? 与 )1,0(1lo g)(2 ? aaaxxf a在给定的一个区间 ? ?3,2 ? aa 有意义，函数 axy 3? 在给定区间 ? ?3,2 ? aa 上单调递增，函数 axy ? 1 在给 定区间 ? ?3,2 ? aa 上恒为正数，故有意义，当且仅当 1003)2(10?aaaaa ； （ 2）构造函数 )3)(lo g)()()( 21 axaxxfxfxF a
11、 ? ，对于函数 )3)( axaxt ? 来=【 ;精品教育资源文库 】 = 讲， 显然其在 2,( a? 上单调 递减，在 ),2 ?a 上单调递增，且 ty alog? 在其定义域内一定是减函数。 由于 10 ?a ，得 2220 ? aa ， 所以原函数在区间 3,2 ? aa 内单调递减，只需保证 ? ? ? 1|)23(3lo g|)3(| 1|)1(4lo g|)2(| aaF aaFaa?aaaaa1)23(31)1(4当 125790 ? a 时， )(1xf 与 )(2 xf 在区间 ? ?3,2 ? aa 上是接近的； 当 12579?a 时， )(1xf 与 )(2 xf 在区间 ? ?3,2 ? aa 上是非接近的。
