1、2.8 函数模型及其应用,高考数学,考点函数模型及其综合应用1.指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较:一般地,在区间(0,+)上,尽管函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但是它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度;而y=logax(a1)的增长速度会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当xx0时,有logax1,n0).2.函数模型及其应用(1)常见的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模型.,知识清单,
2、(2)函数模型的应用实例的基本类型:给定函数模型解决实际问题;建立确定性的函数模型解决实际问题;建立拟合函数模型解决实际问题.(3)函数建模的基本流程,建立确定性函数模型解决实际问题1.在现实生活中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数关系,对这类问题,可以构建一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.对这些问题,可以构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决.2.当两变量之间的关系不能用同一个关系式表示,而是由几个不同的关系式构成时,可以构造分段函数模型,先将其作为几个
3、不同问题,将各段的变化规律找出来,再将其合在一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值.3.指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结合进行考,方法技巧,查;而对数函数模型常与价格指数、环境承载力等有一定的联系.应用指数函数模型或对数函数模型时,关键是对模型的判定,从而建立形如y=abx+c+d或y=alogb(cx+d)(a0,b0,且b1,c0)的函数模型,再利用指数函数或对数函数的性质及函数图象来处理.例1(2016湖北荆州中学质检,9)我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小可由如下公式计
4、算:=10lg?(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的?()A.?倍B.10?倍C.10倍D.ln?倍,C,解析由=10lg ?得I=I01?,所以I1=I0107,I2=I0106,所以?=10,所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍,故选C.,例2(2017江苏南京、盐城一模,18)如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC
5、为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角满足tan =?.(1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证题干中的采光要求?(2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中取3),解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.?(1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9米.设,太阳光线所在直线方程为y=-?x+b,即3x+4y-4b=0,则由?=9,解得b=24或b=
6、?(舍).故太阳光线所在直线方程为y=-?x+24,令x=30,得y=?,即EG=1.5米2.5米.所以此时能保证采光要求.(2)设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.解法一:设太阳光线所在直线方程为y=-?x+b,即3x+4y-4b=0,由?=r,解得b=h+2r或b=h-?r(舍),故太阳光线所在直线方程为y=-?x+h+2r,令x=30,得y=2r+h-?,由y?,得h25-2r,所以S=2rh+?r2=2rh+?r22r(25-2r)+?r2=-?r2+50r=-?(r-10)2+250250,当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐标为(30,2.5),设过点G的太阳光线所在直线为l1,则l1的方程为y-?=-?(x-30),即3x+4y-100=0.,由直线l1与半圆H相切,得r=?.而点H(r,h)在直线l1的下方,则3r+4h-1000,即r=-?,从而h=25-2r.S=2rh+?r2=2r(25-2r)+?r2=-?r2+50r=-?(r-10)2+250250,当且仅当r=10时取等号,所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.,
