1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 数列求和 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 数列求和的六种方法 1公式法 2分组求和法 3倒序相加法 4并项求和法 5裂项相消法 6错位相减法 必会结论 常见的拆项公式 (1) 1n?n 1? 1n 1n 1； (2) 1?2n 1?2n 1? 12? ?12n 1 12n 1 ； (3) 1n n 1 n 1 n. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)如果数列 an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn a1 an 11 q .( ) (2)当 n2 时， 1n2 1 12? ?1n
2、 1 1n 1 .( ) (3)求 Sn a 2a2 3a3 ? nan时只要把上式等号两边同时乘以 a即可根据错位相减法求得 ( ) (4)若数列 a1， a2 a1， ? ， an an 1是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列 an的通项公式是 an 3n 12 .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 2018 长沙模拟 已知数列 an的通项公式是 an ( 1)n(3 n 2)，则 a1 a2 ? a10等于 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 答案 A 解析 an ( 1)n(3n 2)， a1 a2 ? a10 1 4 7 10 ? 25 28 ( 1
3、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4) ( 7 10) ? ( 25 28) 35 15. 3 2018 吉林模拟 数列 an， bn满足 anbn 1， an n2 3n 2，则 bn的前 10 项之和为 ( ) A.13 B.512 C.12 D.712 答案 B 解析 bn 1an 1?n 1?n 2? 1n 1 1n 2， S10 b1 b2 b3 ? b10 12 13 13 14 14 15 ? 111 112 12 112 512.故选 B. 4 课本改编 数列 1， 12， 2， 14， 4， 18， ? 的前 2n 项和 S2n _. 答案 2n 12n 解析 S2n (1
4、2 4 ? 2n 1) ? ?12 14 18 ? 12n 2n 1 1 12n 2n 12n. 5 2018 南京模拟 已知 an 13n，设 bn nan，记 bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn _. 答案 ?2n 1?3n 1 34 解析 bn n3 n， 于是 Sn 13 23 2 33 3 ? n3 n， 3Sn 13 2 23 3 33 4 ? n3 n 1， ，得 2Sn 3 32 33 ? 3n n3 n 1， 即 2Sn 3 3n 11 3 n3n 1， Sn n23 n 1 143 n 1 34 ?2n 1?3n 1 34 . 板块二 典例探究 考向突破 考向 分组转化法
5、求和 例 1 2016 北 京高考 已知 an是等差数列， bn是等比数列，且 b2 3， b3 9， a1 b1， a14 b4. (1)求 an的通项公式； (2)设 cn an bn，求数列 cn的前 n 项和 解 (1)等比数列 bn的公比 q b3b2 93 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 b1 b2q 1， b4 b3q 27. 设等差数列 an的公差为 d， 因为 a1 b1 1， a14 b4 27， 所以 1 13d 27，即 d 2， 所以 an 2n 1(n 1,2,3， ?) (2)由 (1)知， an 2n 1， bn 3n 1， 因此 cn an bn
6、 2n 1 3n 1， 从而数列 cn的前 n 项和 Sn 1 3 ? (2n 1) 1 3 ? 3n 1 n?1 2n 1?2 1 3n1 3 n2 3n 12 . 触类旁通 分组转化求和通法 若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化 【变式训练 1】 2018 西安模拟 已 知数列 an的前 n 项和 Sn n2 n2 ， n N*. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2an ( 1)nan，求数列 bn的前 2n 项和 解 (1)当 n 1 时， a1 S1 1； 当
7、n2 时， an Sn Sn 1 n2 n2 ?n 1?2 ?n 1?2 n. n 1 时， a1 1 符合上式， 故数列 an的通项公式为 an n. (2)由 (1)知， bn 2n ( 1)nn.记数列 bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n (21 22 ? 22n) ( 1 2 3 4 ? 2n)记 A 21 22 ? 22n， B 1 2 3 4 ? 2n，则 A2?1 22n?1 2 22n 1 2， B ( 1 2) ( 3 4) ? (2n 1) 2n n.故数列 bn的前 2n项和 T2n A B 22n 1 n 2. 考向 裂项相消法求和 =【 ;精品教育资源文库 】
8、 = 命题角度 1 形如 an 1n k n 型 例 2 2018 正定模拟 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，公差为 d，若 d， S9为函数 f(x) (x 2)(x 99)的两个零点且 d0， Sn n2 n. 于是 a1 S1 2， 当 n2 时， an Sn Sn 1 n2 n (n 1)2 (n 1) 2n.当 n 1 时， a1 2 21 符合上式 综上，数列 an的通项公式为 an 2n. (2)证明：由于 an 2n， 故 bn n 1?n 2?2a2n n 14n2?n 2?2 116? ?1n2 1?n 2?2 . Tn 116 1 132 122 142 132
9、 152 ? 1?n 1?2 1?n 1?2 1n2 1?n 2?2 116 1 122 1?n 1?2 1?n 2?2 0，由以上两式联立方程组解得 a1 2， q 2， 所以 an 2n. (2)由题意知 S2n 1 ?2n 1?b1 b2n 1?2 (2n 1) bn 1， 又 S2n 1 bnbn 1， bn 10 ， 所以 bn 2n 1. 令 cn bnan，则 cn 2n 12n . 因此 Tn c1 c2 ? cn 32 522 723 ? 2n 12n 1 2n 12n ， 又 12Tn 322 523 724 ? 2n 12n 2n 12n 1 ， 两式相减得 12Tn32
10、 ?12122 ? 12n 1 2n 12n 1 ， 所以 Tn 5 2n 52n . 触类旁通 用错位相减法求和应注意的问题 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形 (2)在写出 “ Sn” 与 “ qSn” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ Sn qSn” 的表达式 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分 公比等于 1 和不等于 1两种情况求解 【变式训练 2】 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm 1 4， Sm 0， Sm 2 14(m2 ，且 m N*) (1)求 m 的值； (2)若数列 bn满
11、足 an2 log2bn(n N*)，求数列 (an 6) bn的前 n 项和 解 (1)由已知得 am Sm Sm 1 4， 且 am 1 am 2 Sm 2 Sm 14， 设数列 an的公差为 d，则有 2am 3d 14， d 2. 由 Sm 0，得 ma1 m?m 1?2 2 0，即 a1 1 m， am a1 (m 1)2 m 1 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = m 5. (2)由 (1)知 a1 4， d 2， an 2n 6， n 3 log2bn，得 bn 2n 3. (an 6) bn 2n2 n 3 n2 n 2. 设数列 (an 6) bn的前 n 项和为 Tn，
12、 Tn 12 1 22 0 ? (n 1)2 n 3 n2 n 2 2Tn 12 0 22 1 ? (n 1)2 n 2 n2 n 1 ，得 Tn 2 1 20 ? 2n 2 n2 n 1 2 1?1 2n?1 2 n2n 1 2n 1 12 n2 n 1 (1 n)2 n 1 12. Tn (n 1)2 n 1 12(n N*) 核心规律 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； (2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和 满分策略 1直接应用公式
13、求和时，要注意公 式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母 )时，应对其公比是否为 1 进行讨论 2在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号 3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项 . 板块三 启智培优 破译高考 规范答题系列 3 求数列 |an|的前 n 项和问题 2018 德州模拟 在公差为 d 的等差数列 an中，已知 a1 10，且 a1， 2a2 2， 5a3成等比数列 (1)求 d， an； (2)若 dk， 若前 k 项为正，以后各项非正，则 Tn ? Sn， n k，2Sk Sn， nk. 解 (1)由题意得 5a3 a1 (2a2
14、 2)2， 即 d2 3d 4 0，故 d 1 或 4. 所以 an n 11， n N*或 an 4n 6， n N*. (2)设数列 an的前 n 项和为 Sn. 因为 d6 时， a7， a8， ? ， an均为负数，故 Sn S66. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1若数列 an的通项公式为 an 2n 2n 1，则数列 an的前 n 项和为 ( ) A 2n n2 1 B 2n 1 n2 1 C 2n 1 n2 2 D 2n n 2 答案 C 解析 Sn a1 a2 a3 ? an (21 21 1) (22 22 1) (23 23 1) ? (2n 2n 1) (2 22 ? 2n) 2(1 2 3 ? n) n 2?1 2n?1 2 2n?n 1?2 n2(2n 1) n2 n n 2n 1 n2 2. 2 2017 全国卷 等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an 前 6 项的和为 ( ) A 24 B 3 C 3 D 8 答案 A 解析 由已知条件可得 a1 1， d0 ， 由 a23 a2a6可得 (1 2d)2 (1 d)(1 5d)， 解得 d 2. 所以 S6 61 65 ? 2?2 24.故选 A. 3 2018
