1、课程基本信息课题空间向量的数量积运算教科书书名：普通高中教科书 数学选择性必修第一册(A版) 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 4 月教学目标教学目标：（1）经历把平面向量的数量积运算推广到空间向量的过程；（2）掌握空间向量的数量积运算及运算律；（3）掌握空间向量的数量积运算的简单应用教学重点：空间向量的数量积运算及简单应用教学难点：空间向量的数量积运算及简单应用教学过程时间教学环节主要师生活动师生问答、共同探究问题1 你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？追问（1） 学习平面向量时，我们如何研究它的数量积运算？答：我们先定义了两个向量夹角的概念，在此基础上，定义了
2、两个向量的数量积运算，并研究了它的运算律，最后用数量积运算解决了平面几何中的一些简单问题.追问（2）什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？与平面向量的数量积运算一样，由定义，我们容易得到关于空间向量数量积运算的两个结论： 若a，b是非零向量，ab a b0； a aa 2|a|a|cosa，a|a|2 .我们经常用第一个结论证明空间中的垂直关系，用第二个结论求立体几何中线段的长度.而垂直、距离是空间中重要的位置关系和度量。追问（4） 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量
3、？你能把它推广到空间向量中吗？追问（5）：空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？问题2 空间向量数量积运算由平面向量数量积运算推广而来，与平面向量数量积运算一样，要注意它与向量的线性运算及实数乘法运算的区别. 你能回答看下面的问题吗.追问（1） 由ab0，能否得到a0或 b0？答：不一定！因为 a b|a|b|cosa，b0，所以|a|0或|b|0或cosa，b0. 即a0或b0或ab.追问（2） 对于三个均不为零的数a，b，c，若abac，则bc.对于向量a，b，c，由abac，能得到bc吗？答：不一定！由a b = a c，有a (bc）0. 从而有bc或a(bc）.追问（3） 对于
4、三个均不为零的数a，b，c，若abc，则或.对于向量a，b，若abk，能不能写成或？答：不能！没有定义向量的除法运算.追问（4） 对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)ca(bc).对于向量a，b，c，有(ab)ca(bc)成立吗？答：不一定！两个向量的数量积是一个实数，若ab和bc非零，则(ab)c和a(bc)分别表示一个与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.问题3 用空间向量的数量积运算，可以解决空间中的哪些问题呢？追问（1）：平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？答：平面向量的数量积运算，可以用来解决平面内线段的长度、夹角，特别地证明垂直等问题，具体方法我们比较熟悉.追问（2）
5、空间中的这些问题也可以用它们解决吗?答：空间向量的数量积运算仍然由两个向量的模及它们的夹角余弦值确定，所以，可以用相同的方法解决空间中距离、夹角，特别是证明垂直等很多问题.问题4 如右图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB = 5， AD = 3， AA = 7， BAD =60， BAA = DAA =45. 求：(1) ；(2) AC的长（精确到0.1）. 追问(1):如何计算？它们的长度，夹角是多少？答：AB、AD的长度、夹角均已知，可以直接计算.解：(1) 追问(2) 为了求AC的长，需要把它表示出来。如何表示？应该用哪些向量表示？为什么？答：根据已知条件以及向量加法的平行四边形法
6、则，我们可以用表示它，因为它们的模长和夹角均为已知，可以进行数量积运算.思路小结：用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度常用的向量方法.数量积运算也是解决空间中垂直问题的好工具，请看下一个问题：问题5 如右图，m，n是平面内的两条相交直线. 如果lm， ln，求证： l平面;追问(1) 直线和平面垂直的定义是什么？ 答：如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，则直线l垂直于平面 .追问(2) 如何用向量证明l和平面内任意一条直线垂直？ 答：在平面内任取一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g作为方向向量，由向量共面的充要条件知，g可由m，n的
7、线性组合表示.再由lm，ln，通过数量积运算，得到lg，从而lg，从而l平面.问题6 回顾本节课的探究过程，你都学到了什么？1. 从知识层面，我们把数量积运算从平面推广到了空间，研究了空间向量数量积运算的定义，运算律。其中，特别要注意向量的数量积运算与向量线性运算、实数乘法运算的不同之处. 最后我们类比平面向量数量积运算解决平面几何问题，探索了空间向量数量积运算解决了一些立体几何问题.2. 从本节课的研究方法上来看，和上节课一样，我们继续类比平面向量的运算，在保证兼容性和严谨性的基础上，对原有内容在空间中进行了推广.在研究空间向量问题时，我们常常通过平移，把它们转化为平面向量问题.这种把未知向已知转化的办法，是数学中研究新问题的常用方法.希望同学们在今后的学习中，继续勇于探索，严谨推理，合理转化，体会数学的逻辑之美，严谨之美和广泛的应用.
