1、圆锥曲线复习讲义学生版【基础知识】一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义方程图形M2M11PK2K1A1A2F2F1Oyx焦点焦距对称轴关于x.y轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a,0),(a,0)短轴：(0,-b),(0,b)长轴：(-b,0),(b,0)短轴：(0,-a),(0,a)实轴：(-a,0),(a,0)虚轴：(0,-b),(0,b)实轴：(-b,0),(b,0)虚轴：(0,-a),(0,a)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率渐进线无a,b,c二抛物线的性质 标准方程图形焦点坐标准线方程范围离心率三、弦长公式： 其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去
2、y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出，；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：注意（1）上面用到了关系式和注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法四、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出；（3）设中
3、点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。法（二）：用点差法，设，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。五、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0e1，而双曲线离心率取值范围是e1)一、基础题 例1双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程。例2.过椭圆=1（ab0）的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D例3设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，求的面积
4、。变式训练：1.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_ 2. 已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积是9，则 3.椭圆的离心率为，则的值为_。二直线与圆锥曲线的关系题 例2为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式训练2（1）在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。（2）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_三、求动点的轨迹方程求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；例3.动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？待定系数法：已知所求曲线的类型，求
5、曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例4.已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为, 短轴一个端点到右焦点的距离为. 求椭圆C的方程;定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例5.由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程为；相关点法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；例6：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程巩固训练：1抛物线的焦点到准线的距离是（
6、）A B C D2若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）。A B C D3以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（ ）A B C或 D以上都不对4 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为（ ）A B C D5以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ ）A或 B C或 D或6若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）A B C D7椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ）A B C D 8若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）A B C D9与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是
7、（ ）A B C D10若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_.11双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_。12抛物线的准线方程为.13椭圆的一个焦点是，那么 。14椭圆的离心率为，则的值为_。15双曲线的一个焦点为，则的值为_。16若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是_。17.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆C的方程； 18.点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_ 圆锥曲线复习讲义教师版【基础知识】一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义方程图形M2M11PK2K1A1A2F2
8、F1Oyx焦点焦距对称轴关于x.y轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a,0),(a,0)短轴：(0,-b),(0,b)长轴：(-b,0),(b,0)短轴：(0,-a),(0,a)实轴：(-a,0),(a,0)虚轴：(0,-b),(0,b)实轴：(-b,0),(b,0)虚轴：(0,-a),(0,a)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率渐进线无a,b,c二抛物线的性质 标准方程图形焦点坐标准线方程范围离心率三、弦长公式： 其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，
9、消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出，；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：注意（1）上面用到了关系式和注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法四、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。法（二）：用点差法，设，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过
10、A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。五、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0e1，而双曲线离心率取值范围是e1)一、基础题 例1双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程。解：椭圆的焦点为，设双曲线方程为过点，则，得，而，双曲线方程为。例2.过椭圆=1（ab0）的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ B ）A B C D例3设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，求的面积。 解：双曲线的不妨设，则，而得变式训练：
11、1.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_（答：）；2. 已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积是9，则 3 3.椭圆的离心率为，则的值为_。二直线与圆锥曲线的关系题 例2为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解：由，得，即 当，即时，直线和曲线有两个公共点； 当，即时，直线和曲线有一个公共点； 当，即时，直线和曲线没有公共点。变式训练2（1）在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。解：设点，距离为， 当时，取得最小值，此时为所求的点。（2）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）；三、求动点的轨迹方程求轨迹
12、方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；例3.动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？【解答】|PA|=代入得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例4.已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为, 短轴一个端点到右焦点的距离为. 求椭圆C的方程;解：设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例5.由动点P向圆作两条切线PA、P
13、B，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：）；相关点法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；例6：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程解 设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得，即，因为点P在圆上，所以即，即，这就是动点M的轨迹方程变式训练：1抛物线的焦点到准线的距离是（ B ）A B C D2若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ C ）。A B C D3以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（ C ）A B C或 D以上都不对4
14、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为（ C ）A B C D5以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ D ）A或 B C或 D或6若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ B ）A B C D7椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ D ）A B C D 8若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ D ）A B C D9与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ A ）A B C D10若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_ _.11双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_。12抛物线的准线方程为.13椭圆的一个焦点是，那么 1 。14椭圆的离心率为，则的值为_。15双曲线的一个焦点为，则的值为_。16若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是_。17.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆C的方程； 解:()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得：， 所以椭圆的标准方程为 18.点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_ （答：）；
