1、第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1、空间向量的概念：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或|.(2)几类特殊的空间向量2、空间向量的加减运算及运算律(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算ab abab(2)空间向量加法交换律abba空间向量加法结合律(ab)ca(bc)3、空间向量的数乘运算：(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向
2、量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：|a|a|.当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向相反；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)()a； (ab)ab； (12)a1a2a（拓展).4、共线向量与共面向量：5、空间向量数量积的概念：(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律：(3)空间向量的夹角定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b.范围：a，b0，.特别地：当a，b时，ab.6、空间向量数量积的性质：1.2 空间向量基本定理1
3、.空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.2.基底:我们把定理中的a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用i,j,k表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.1.3 空间向量及其运算的
4、坐标表示1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.2、点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在单位正交基底i,j,k下与向量O
5、A对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.3.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作 OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).4、空间向量运算的坐标表示：（1）.空间向量的坐标运算法则：设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),R,那么（2）.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:设A(x1,y1,z1),B(x2,
6、y2,z2),则 AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标（3）.空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b0时,aba=ba1=b1,a2=b2,a3=b3 (R);(2)abab=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 .当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为ab a1b1=a2b2=a3b3（4）.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示：若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则：(1)|a|=aa=a12+a
7、22+a32;(2)cos=ab|a|b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32;(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系1.点的位置向量：在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.如图.2.空间直线的向量表示式：如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取AB=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得
8、AP=ta,即AP=tAB.如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta, 或OP=OA+tAB.式和式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.3.空间平面的向量表示式：如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使OP=OA+xAB+yAC.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.平面的法向量：如图,直线l,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点
9、A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合P|aAP=0.点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:是非零向量;向量所在的直线与l平行或重合5空间中直线、平面平行的向量表示：6、空间中直线、平面垂直的向量表示 ：1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题、距离问题1、点到线的距离：已知直线l的单位方向向量为,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a).点P到直线l的距离为PQ=a2-(a)2. 4、两条平行线间的距离：求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P
10、到直线m的距离.5、点到平面的距离：已知平面的法向量为n,A是平面内的定点,P是平面外一点.过点P作平面的垂线l,交平面于点Q,则点P到平面的距离为PQ=|APn|n|.6、线到面的距离：求直线到平行平面的距离,先在直线上找到一点,然后转化为该点到平面的距离求解。7、面到面的距离：求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解。8、求两异面直线所成角若两异面直线l1,l2所成角为,它们的方向向量分别为a,b,则有cos =|cos|=|ab|a|b| .9、求直线与平面所成角 若直线l与平面所成的角为,直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,则有sin =|cos|= |an|a|n| .10、用向量方法求二面角(判断cos 的正负值)(1)若二面角-l-的平面角的大小为,其两个面,的法向量分别为n1,n2, 则|cos |=|cos|= |n1n2|n1|n2| (2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角-l-的两个半平面,内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.
