1、选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何学校：_姓名：_班级：_考号：_题号一二三四总分得分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设，向量，且，则的值为( )A.-1B.1C.2D.31.答案：A解析：，解得，又，解得，则，故选A.2、在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是( )； ； ； .A.B.C.D.答案：C解析：，错；，错；，对；，对.故选C.3、若向量与向量的夹角的余弦值为，则( )A.0B.1C.-1D.2答案：A解析：由题意可知,解得，故选A.4、已知空间任意一点和不共线的三点.若,则“”是“四点共面”的( )A.
2、必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：当时,则,即,根据共面向量定理知,四点共面.反之,当四点共面时,根据共面向量定理,设,即,即,即,这组数显然不止.故“”是“四点共面”的充分不必要条件,故选B.5、在三棱柱中，D是四边形的中心，且，则( )A.B.C.D.答案：D解析：，故选D.6、在长方体中,分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.答案：A解析：分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则点,则,设异面直线与所成角的大小为,则故选A.7、如图，在正三棱柱中，D是的中点，则AD与平面所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.答
3、案：B解析：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量为，则取，得.设AD与平面所成的角为，则，所以AD与平面所成角的正弦值为.故选B.8、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为( )A.10B.3C.D.答案：D解析：由已知得，故点P到平面的距离为.故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9、下列命题中是假命题的为( )A.若向量,则与共面 B.若与共面,则C.若,则四点共面 D.若四点共面,则答案：BD解析：AC为真命题.B中需满足不共线,D中需满
4、足三点不共线.10、给出下列命题，其中正确的有( )A.空间任意三个向量都可以作为一个基底B.已知向量，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.A，B，M，N是空间中的四个点，若，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底答案：BCD解析：选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故A错误.选项B中，根据基底的概念，知B正确.选项C中，由，不能构成空间的一个基底，知，共面.又，均过点B，所以A，B，M，N四点共面，故C正确.选项D中，已知是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量构成空间的另一个基底
5、，故D正确.故选BCD.11、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，则下列结论正确的有( )A.B. C.是平面ABCD的一个法向量 D.答案：ABC解析：，A对；，B对；，平面ABCD，是平面ABCD的一个法向量，C对；，设，即方程组无解，D错. 故选ABC.12、将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论中正确的是( )A. B.所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为答案：ABC解析：如图,A.取中点为,连接,易知平面,故.B.以为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设正方形边长为,则,故.由两向量夹角公式得,故异面直线所成的角为.C.在直角三角形中,由,得,故为等边三角
6、形.D.易知即为直线与平面所成的角,易得,故D错误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13、若,则与同方向的单位向量是_.答案：解析：与同方向的单位向量是.14、如图，在正四棱锥中，点M为PA的中点，.若，则实数_答案：4解析：连接AC，交BD于点O，连接OP，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，设，则.，解得.15、P是棱长为1的正方体的上底面上一点，则的取值范围是_答案：解析：以D为原点，以DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则，. 设点P的坐标为，由题意可得
7、,，当时，取得最小值，最小值为；当或1，且或1时，取得最大值，最大值为0.故的取值范围是.16、给出下列命题：直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直；直线的方向向量，平面的法向量，则；平面的法向量分别为，则；平面经过三点，向量是平面的法向量，则.其中真命题的是_（把你认为正确命题的序号都填上）答案：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60，M是PC的中点，设，.（1）试用a，b，c表示向量；（2）求BM的长.解析：（1）是PC的中点，.，结合，得.（2
8、） ， ，.， ，.由（1）知，即BM的长等于.18、如图，在底面半径为2高为4的圆柱中，B，A分别是上下底面的圆心，四边形EFGH是该圆柱的轴截面，已知P是线段AB的中点，M，N是下底面半圆周上的三等分点.（1）求证：平面PAN；（2）求平面FPM与平面NPM所成的锐二面角的余弦值.解析：（1）因为分别是上下底面的圆心，四边形EFGH是圆柱的轴截面所以且，如图，连接BN，因为M，N是下底面半圆周上的三等分点，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面PAN，平面PAN，所以平面PAN.（2）如图，以A为坐标原点，下底面内AH的垂线为x轴，AH所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴
9、，建立空间直角坐标系圆柱的底面半径为2，高为4，所以，所以，.设平面FPM的法向量为，平面NPM的法向量为，所以，令时，则，所以.同理，令时，则，所以.设平面FPM与平面NPM所成的锐二面角为，所以，即平面FPM与平面NPM所成的锐二面角的余弦值为.19、如图，在三棱锥中，平面平面ABC，.（1）若，求证：平面平面PBC；（2）若PA与平面ABC所成角的大小为60，求二面角的余弦值.解析：（1）证明： 因为平面平面ABC，平面平面,平面ABC, ，所以平面PAC.因为平面PAC，所以. 又,，所以平面PBC.因为平面PAB,所以平面平面PBC.（2）如图，过点P作于点H,因为平面平面ABC，所
10、以平面ABC，所以，不妨设，则，以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系, 则，因此，.设为平面PAB的一个法向量,则即令，可得，设为平面PBC的一个法向量，则即令，可得，所以，易知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20、如图，点O为正四棱锥的底面ABCD的中心，四边形POBQ为矩形，且，.（1）求正四棱锥的体积；（2）设E为侧棱PA上的点，且,求直线BE与平面PQC所成角的正弦值解析：（1）由已知可得，因为，所以，所以正四棱锥的体积.（2）以O为原点，OC,OD,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角
11、坐标系，易得，所以，. 设平面PQC的一个法向量为，则即令，得.依题意可得，设，则，所以，解得故， 所以.设直线BE与平面PQC所成的角为，则.故直线BE与平面PQC所成角的正弦值为72121、如图所示，在梯形ABCD中，四边形ACFE为矩形，且平面ABCD，.（1）求证：平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为，试求的取值范围.解析：（1）证明： 连接AC，设，.四边形ACFE为矩形，.，平面BCF，且，平面BCF.，平面BCF.（2）以C为坐标原点，直线CA，CB，CF分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，所以，设为平面MAB的法向量
12、，由得 取，所以.因为是平面FCB的一个法向量，所以.因为，所以当时，有最小值；当时，有最大值，所以.22、如图，在直三棱柱中，点P为棱的中点，点Q为线段上的一动点.（1）求证：当点Q为线段的中点时，平面；（2）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.解析：（1）证明： 连接，.点Q为线段的中点，四边形为矩形，Q，三点共线，且点Q为的中点.点P，Q分别为和的中点，.在直三棱柱中，平面，又平面，.又，四边形为正方形， z.，平面.平面. yx（2）以C为原点，分别以CA，CB，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接，BP，则，.设.，.点Q在线段上运动，平面的法向量即为平面的法向量.设平面的法向量为，.由得 令，得.设平面的法向量为，.由得令，得.由题意得，解得或.当或时，平面与平面所成夹角的余弦值为.：
