1、3.3.23.3.2抛物线抛物线的简单的简单几何性质几何性质温故知新温故知新( (一一) ) 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点平面内，到定点F的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离的距离比为常数比为常数e的点的轨迹的点的轨迹,当当0e0) (2)开口向左开口向左 y2 = -2px (p0)(3)开口向上开口向上 x2 = 2py (p0) (4)开口向下开口向下 x2 = -2py (p0)平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做. .定点定点F F叫做抛物线的叫做抛物线的, ,定直线定直线l l
2、叫做抛物线的叫做抛物线的. . 的轨迹是抛物线。则点若MMNMF, 1即即FMlN温故知新温故知新标准方程标准方程 图形图形焦点焦点准线准线xyOFly2=2pxy2=-2pxxyOFlx2=2pyx2=-2pyxyOFlxyOFl(,0)2pF(0, )2pF2px(0,)2pF(,0)2pF 2px 2py 2py ？ （1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程求它的焦点坐标和准线方程. （2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y = 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程求它的焦点坐标和准线方程. （3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物
3、线的焦点坐标是F（0，-2），）， 求它的标准方程求它的标准方程.23:0 ,23xF准线方程焦点241:241, 0yF准线方程焦点2:8xy 标准方程为练习练习2 2 求过点求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程）的抛物线的标准方程.AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= 49当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 32故故抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x .2934练习练习3 3 M是抛物线是抛
4、物线y2 = 2px（p0）上一点，若）上一点，若 点点M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 x0 + 2pOyxFM这就是抛这就是抛物线的焦物线的焦半径公式半径公式!一、抛物线的范围一、抛物线的范围 y2=2pxxy抛物线抛物线的的几何性质几何性质二、抛物线的对称性二、抛物线的对称性 y2=2pxxy xy三、抛物线的顶点三、抛物线的顶点 y2=2pxxy四、抛物线的离心率四、抛物线的离心率 y2=2pxxy五、抛物线的基本元素五、抛物线的基本元素 y2=2pxpyxpyxpxypxy22222222六、抛物线开口方向的判断六、抛物线开口方向的判断 求满足下
5、列条件的抛物线的方程求满足下列条件的抛物线的方程（1）顶点在原点，焦点是（）顶点在原点，焦点是（0，4）（2）顶点在原点，准线是）顶点在原点，准线是x4（3）焦点是）焦点是F（0，5），准线是），准线是y5（4）顶点在原点，焦点在）顶点在原点，焦点在x轴上，轴上，过点过点A（2，4）yx162yx202xy162xy82特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦
6、点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.yox)0 ,2(pFP(x,y)P越大开口越大开口越大越大方程图形准线焦点对称轴)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0 ,(2pF) 0 ,(2pF ), 0(2pF), 0(2pF2px2px2yp2py x轴轴x轴轴y轴轴y轴轴ox xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上）
7、方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线范围范围顶点顶点对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yR
8、y0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的，称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通、通径的两个径的两个端点端点可较准确可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线基本特征的草图征的草图. pp,2 pp,2|AB|=2p通径通径5、2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.P越大越大,开口越开阔开口越开阔连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径公式：焦半径焦半径6、xyOFPx
9、0p/2焦半径及焦半径公式焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在在y2=2px上，上， P(x0，y0)在在y2=-2px上上,P(x0，y0)在在x2=2py上上,P(x0，y0)在在x2=-2py上上,20pxPF 02xpPF 20pyPF 02ypPF 归纳归纳: (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条、抛物线只有一个顶
10、点，一个焦点，一条准线；准线； (4)、抛物线的离心率、抛物线的离心率e是确定的为是确定的为, 、抛物线的通径为、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张越大，抛物线的张口越大口越大.例例1 过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一任作一条直线条直线m，交这抛物线于，交这抛物线于A,B两点，求两点，求证：以证：以AB为直径的圆和这抛物线的准为直径的圆和这抛物线的准线相切线相切证明：如图证明：如图 所以所以EH是以是以AB为为直径的圆直径的圆E的半径，的半径，且且EHl，因而圆，因而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点为的中点为E，过，过A, E, B分别向准线分别向准线l引引垂线
11、垂线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D, H, C，则则AFAD，BFBC故故ABAFBFADBC=2EH（5）y1y2P2，x1x2p2/4。 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。24yx1648 3课堂练习：课堂练习：因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它
12、的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），（，），2 2解解:所以设方程为：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx例例2 2：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程. .2 2坐标轴坐标轴当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论可避免讨论
13、| |AB| |8 8 例例3 3 斜率为斜率为1 1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y2 24 4x的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A、B两点，两点，求线段求线段AB的长的长. . O OxyBAF法法1：解出交点坐标；计算弦长：解出交点坐标；计算弦长(运算量一般较大运算量一般较大); 法法2：设而不求：设而不求,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长(运算量一般运算量一般); 法法3：焦半径公式。：焦半径公式。xyOFABBA224 ,(1)4 ,yxxx代代入入方方程程得得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8
14、AB例例3.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点为为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程为的方程为y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设, 1, 121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx 所所以以例例4.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长
15、的长.y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl准线解法二解法二:由题意可知由题意可知,焦点弦公式：焦点弦公式：12pxx例例5 已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为y=4x,直线直线l过定点过定点P(-2,1)，斜率为，斜率为k,k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线y=4x:只有一个公共点；有两个公共只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？点；没有公共点？).2(1xkyl的方程为解：由题意，设直线xyxky4)2(12由方程组0) 12(442kyky可得. 10) 1 (yk时，由方程得当.41,412xxyy得代入把) 1 ,41(点与抛物线只有一个公共这时，直线lXYO
16、P例例5 已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为y=4x,直线直线l过定点过定点P(-2,1)，斜率为，斜率为k,k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线y=4x:只有一个公共点；有两个公共只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？点；没有公共点？).2(1xkyl的方程为解：由题意，设直线xyxky4)2(12由方程组0) 12(442kyky可得).12(160)2(2kkk时，方程的判别式为当0120120kk，即由.21, 1kk或解得个公共点。即直线与抛物线只有一，时，方程组只有一个解，或即当211kk0120220kk，即由.211k解得公共点。即直线与抛物线有两个时，方程组
17、有两个解，且即当0,211kk0120320kk，即由.211kk，或解得共点。即直线与抛物线没有公，时，方程组没有实数解或即当211kk个公共点。即直线与抛物线只有一时，或，或综上所述，当0211kkk公共点。即直线与抛物线有两个时，且当0,211kk共点。即直线与抛物线没有公时，或当211kk练习练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，轴，焦点在直线焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线的标上，那么抛物线的标准方程准方程_.2.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_3.垂
18、直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直线求直线AB的方程的方程.16 y2 = 8x0453X=3xy162令令y=0,得到焦点坐标得到焦点坐标例例6：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解解:所在平面内建立直所在平面内建立直角坐标系角坐标系,使反射镜使反射镜的顶点与原点重合的顶点与原点重合, x轴垂直于
19、灯口直径轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得由条件可得A (40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之: p=445故所求抛物线的标准方程为故所求抛物线的标准方程为: y2= x,245焦点为焦点为( ,0)845例例7.正三角形的一个顶点位于坐标原点正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点另外两个点在抛物线在抛物线y2=2px(p0)上上,求这个正三角形的边长求这个正三角形的边长.例例6.等腰直角三角形等腰直角三角形AOB内接于抛物线内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点为抛物线的顶
20、点,OAOB,则则AOB的面积为的面积为( )A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2),3aa为（解：由题可设一个顶点paapa32322则由.34p三角形的边长为),aa为（解：由题可设一个顶点papaa222则由.42BpSAOB选四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：
