2.7 解析几何初步复习与巩固-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

解析几何初步解析几何初步 全章复习与巩固全章复习与巩固类型一：直线方程的综合问题类型一：直线方程的综合问题例 1已知1l：23250,:(31)20 xaylaxay，求使12/ll的a的值例 2求直线:240axy关于直线:3410lxy 对称的直线b的方程举一反三：举一反三：【变式 1】由点 P（2，3）发出的光线射到直线1xy 上，反射后过点 Q（1，1） ，则反射光线所在直线的一般方程为_类型二：圆的方程的综合问题类型二：圆的方程的综合问题例 3已知圆 C 经过点 A（2，0） 、(1,3)B，且圆心 C 在直线 y=x 上（1）求圆 C 的方程；（2）过点3(1,)3的直线 l 截圆所得弦长为2 3，求直线 l 的方程举一反三：举一反三：【变式 1】直线l被圆 C:2220 xyy所截得的弦的中点是1 3(, )2 2M ，求直线l的方程例 4已知：圆 C：22(1)(2)25xy，直线 l： （2m+1）x+（m+1）y7m4=0，求： （1）求直线 l 恒过定点 P 的坐标；（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程例 5已知圆的方程：2222(2)20 xyaxay，其中 a1，且 aR (1)求证：a1，且 aR 时，圆恒过定点； (2)求证圆心总在一条直线上，并求其方程举一反三：举一反三：【变式 1】求过两圆2220 xyxy与224480 xyxy的交点和点(3，1)的圆的方程类型三：直线与圆的方程的综合问题类型三：直线与圆的方程的综合问题例 6已知圆 C 的圆心为坐标原点 O，且与直线1:2 20lxy相切（1）求圆 C 的方程；（2）若与直线1l垂直的直线2l与圆 C 交于不同的两点 P、Q，且以 PQ 为直径的圆过原点，求直线2l的方程举一反三：举一反三：【变式 1】已知直线l过点 P(2，4)，且与圆224xy相切，求直线l的方程【变式 2】空间直角坐标系中，在平面xoy内的直线1xy上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1）的距离最小，求出最小值【巩固练习】【巩固练习】1已知过点( 2,)Am和( ,4)B m的直线与直线012 yx平行，则m的值为（）A0 B8 C2 D102经过圆2220 xxy的圆心 C，且与直线 x+y0 垂直的直线方程是( )A10 xy B10 xy C10 xy D10 xy 3若圆心在 x 轴上、半径为5的圆 C 位于 y 轴左侧，且与直线 x+2y0 相切，则圆 C 的方程是( ) A22(5)5xy B22(5)5xy C22(5)5xy D22(5)5xy4如果圆22()(1)1xay上总存在两个点到原点的距离为 2，则实数 a 的取值范围是（ ）A( 2 2,0)(0,2 2) B2 2,2 2 C( 1,0)(0,1) D( 1,1)5圆012222yxyx上的点到直线2 yx的距离最大值是（ ）A2 B21 C221 D2216若圆 C：x2+y2+2x4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是（ ）A2 B3 C4 D67在圆22(3)(5)2xy的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有( )A4 条 B5 条 C6 条 D8 条8 过点(-4， 0)作直线l与圆2224200 xyxy交于 A、 B 两点， 如果|AB|8， 则 x 的方程为( ) A5x+12y+200 B5x+12y+200 或 x+40 C5x-12y+200 D5x-12y+200 或 x+409直线l与圆22240 xyxya(a0)相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为(1，0)，则直线l的方程为_10已知圆 C 的圆心与点 P(-2，1)关于直线 yx+1 对称直线 3x+4y-110 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|6，则圆 C 的方程为_11已知圆 C 过点（1，0） ，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l：xy1=0 被圆 C 所截得的弦长为2 2，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_12设), 0(为常数kkkba，则直线1byax恒过定点 13已知圆222:(2)1Oxy P（x，y）为圆上任一点，求21yx、x2y 的最大、最小值14. 已知曲线 C：x2y24ax2ay2020a0.(1) 证明：不论 a 取何实数，曲线 C 必过一定点；(2) 当 a2 时，证明曲线 C 是一个圆，且圆心在一条直线上；(3) 若曲线 C 与 x 轴相切，求 a 的值.15如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，平行于 x 轴且过点 A(3 3，2)的入射光线1l被直线l:33yx反射，反射光线2l交 y 轴于 B 点，圆 C 过点 A 且与1l、2l相切 (1)求1l所在直线的方程和圆 C 的方程；(2)设 P、Q 分别是直线l和圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标解析几何初步解析几何初步 全章复习与巩固全章复习与巩固类型一：直线方程的综合问题类型一：直线方程的综合问题例 1已知1l：23250,:(31)20 xaylaxay，求使12/ll的a的值【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a 时，有12:350,:20lxlx ，符合12/ll；直线斜率存在时，123311/26allaaa 故使12/ll的a的值为0或16例 2求直线:240axy关于直线:3410lxy 对称的直线b的方程【解析】在直线:240axy上取一点(2,0)A，设 A 点于l的对称点00(,)B xy，则0000203410220423xyyx ，解得48( ,)55B，由2403410 xyxy ，解得交点(3, 2)D由两点式可求得直线b的方程：211160 xy举一反三：举一反三：【变式 1】由点 P（2，3）发出的光线射到直线1xy 上，反射后过点 Q（1，1） ，则反射光线所在直线的一般方程为_【答案】：4510 xy 【解析】设点 P 关于直线1xy 的对称点00(,)P xy，则00(,)P xy满足条件0000231,2231,2xyyx ，解得( 4, 3)P ， 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为3 11(1)4 1yx ，即4510 xy 类型二：圆的方程的综合问题类型二：圆的方程的综合问题例 3已知圆 C 经过点 A（2，0） 、(1,3)B，且圆心 C 在直线 y=x 上（1）求圆 C 的方程；（2）过点3(1,)3的直线 l 截圆所得弦长为2 3，求直线 l 的方程【解析】 （1）AB 的中点坐标33( ,)22，AB 的斜率为3可得 AB 垂直平分线为2 360 xy，与 xy=0 的交点为（0，0） ，圆心坐标为（0，0） ，半径为 2，所以圆 C 的方程为 x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k，又直线 l 过3(1,)3，直线 l 的方程为3(1)3yk x，即33ykxk，则圆心（0，0）到直线的距离23|31kdk，又圆的半径 r=2，截得的弦长为2 3，则有2223(|)3( 3)41kk，解得：33k ，则直线 l 的方程为32 333yx 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x=1，满足题意直线 l 的方程：x=1 或32 333yx 举一反三：举一反三：【变式 1】直线l被圆 C:2220 xyy所截得的弦的中点是1 3(, )2 2M ，求直线l的方程【答案】20 xy例 4已知：圆 C：22(1)(2)25xy，直线 l： （2m+1）x+（m+1）y7m4=0，求： （1）求直线 l 恒过定点 P 的坐标；（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程【解析】 （1）直线 l： （2m+1）x+（m+1）y7m4=0，即为 m（ 2x+y7）+（x+y4）=0，令27040 xyxy，则31xy，故直线 l 恒过点 P（3，1） ；（2）当圆心 C 到直线 l 的距离最大时弦长最短，此时 CPl，圆 C：22(1)(2)25xy的圆心 C（1，2） ，由直线 CP 的斜率为2 111 32 ，即有直线 l 的斜率为 2，即2121mm，即34m ，则直线 l 的方程为 2xy5=0例 5已知圆的方程：2222(2)20 xyaxay，其中 a1，且 aR (1)求证：a1，且 aR 时，圆恒过定点； (2)求证圆心总在一条直线上，并求其方程【解析】(1)证明：方程2222(2)20 xyaxay变为2242(22 )0 xyyaxy，令22420220 xyyxy， 解得11xy，.， 定点为(1，1)故圆恒过定点(1，1)(2)解：易求圆心坐标为(a，2-a)，又设圆心坐标为(x，y)，则2xaya，消去 a，可得2yx，即20 xy故圆心(a，2-a)总在直线 x+y-20 上举一反三：举一反三：【变式 1】求过两圆2220 xyxy与224480 xyxy的交点和点(3，1)的圆的方程 【解析】设所求圆的方程为22222(448)0 xyxyxyxy， 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25 所求圆的方程为223313360 xyxy类型三：直线与圆的方程的综合问题类型三：直线与圆的方程的综合问题例 6已知圆 C 的圆心为坐标原点 O，且与直线1:2 20lxy相切（1）求圆 C 的方程；（2）若与直线1l垂直的直线2l与圆 C 交于不同的两点 P、Q，且以 PQ 为直径的圆过原点，求直线2l的方程【解析】 （1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2 221 1r ， 圆的方程为224xy（2）设直线2l的方程为 x+y+c=0，由已知OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l的距离为2，利用点到直线的距离公式得，求得 c=2 直线2l的方程为 x+y+2=0 或 x+y2=0举一反三：举一反三：【变式 1】已知直线l过点 P(2，4)，且与圆224xy相切，求直线l的方程【解析】当直线斜率不存在时，直线l的方程为 x2，适合题意 当直线斜率存在时，设直线l的方程为4(2)yk x，即4020kxyk， 直线与圆相切， 2|42 |21kk，解得34k ， 直线l的方程为34100 xy 直线l的方程为2x 或34100 xy【变式 2】空间直角坐标系中，在平面xoy内的直线1xy上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1）的距离最小，求出最小值【解析】设点( ,1,0)M xx，则2222|(6)(15)(0 1)2(1)51MNxxx，当1x 时，min|51MN，此时，点 M（1，0，0） 【巩固练习】【巩固练习】1已知过点( 2,)Am和( ,4)B m的直线与直线012 yx平行，则m的值为（）A0 B8 C2 D101. 【答案】B 【解析】42,82mkmm 2经过圆2220 xxy的圆心 C，且与直线 x+y0 垂直的直线方程是( )A10 xy B10 xy C10 xy D10 xy 2 【答案】A 【解析】设直线方程为 x-y+m0，又过(-1，0)点，代入得 ml，故直线方程为10 xy 3若圆心在 x 轴上、半径为5的圆 C 位于 y 轴左侧，且与直线 x+2y0 相切，则圆 C 的方程是( ) A22(5)5xy B22(5)5xy C22(5)5xy D22(5)5xy3 【答案】D【解析】设圆心为(a，0)(a0)因为直线 x+2y0 与圆相切，所以22|2 0|512a ，即|55a，解得5a 所以圆 C 的方程为22(5)5xy4如果圆22()(1)1xay上总存在两个点到原点的距离为 2，则实数 a 的取值范围是（ ）A( 2 2,0)(0,2 2) B2 2,2 2 C( 1,0)(0,1) D( 1,1)4 【答案】A 【解析】 圆22()(1)1xay上总存在两个点到原点的距离为 2， 圆 O：224xy与圆 C：22()(1)1xay相交， 21OCa，由RrOCRr得：2113a ， 02 2a， 2 20a或02 2a5圆012222yxyx上的点到直线2 yx的距离最大值是（ ）A2 B21 C221 D2215. 【答案】B 【解析】圆心为max(1,1),1,21Crd6若圆 C：x2+y2+2x4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是（ ）A2 B3 C4 D66 【答案】C【解析】将圆 C：x2+y2+2x4y+3=0 化为标准方程得：(x+1)2+(y2)2=2，圆心 C（1，2） ，半径2r ，圆 C 关于直线 2ax+by+6=0 对称，直线 2ax+by+6=0 过圆心，将 x=1，y=2 代入直线方程得：2a+2b+6=0，即 a=b+3，点（a，b）与圆心的距离22(1)(2)dab，点（a，b）向圆 C 所作切线长2222(1)(2)2ldrab222(4)(2)22(1)164bbb当且仅当 b=1 时弦长最小，最小值为 47在圆22(3)(5)2xy的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有( )A4 条 B5 条 C6 条 D8 条7 【答案】B 【解析】画出草图观察并计算验证可知这样的直线有 5 条8 过点(-4， 0)作直线l与圆2224200 xyxy交于 A、 B 两点， 如果|AB|8， 则 x 的方程为( ) A5x+12y+200 B5x+12y+200 或 x+40 C5x-12y+200 D5x-12y+200 或 x+408 【答案】B 【解析】当l斜率不存在时，方程为 x-4，此时弦心距为 3，半径为 5，可得半弦长为 4，满足题意；当l斜率存在时，设方程为(4)yk x，可求得弦心距为2|24 |1kkk，又半径为 5，半弦长为 4，可求得512k ，则l为512200 xy9直线l与圆22240 xyxya(a0)相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为(1，0)，则直线l的方程为_9 【答案】x-y-10 【解析】该圆的圆心为(-1，2)，圆心与弦 AB 中点确定的直线应与直线l垂直，故斜率乘积应等于-1，可得111lk，所以直线l的方程为01yx，即10 xy 10已知圆 C 的圆心与点 P(-2，1)关于直线 yx+1 对称直线 3x+4y-110 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|6，则圆 C 的方程为_10 【答案】22(1)18xy 【解析】设点 P(-2，1)关于直线1yx的对称点为 C(a，b)，则11212122baba ，.， 01ab ，. 圆心 C(0，-1)， 圆心 C 到直线34110 xy的距离为| 4 11|35d 又弦长|AB|6，由半径、半弦长、弦心距 d 构成直角三角形得222|2ABrd， 29918r 圆 C 的方程为22(1)18xy11已知圆 C 过点（1，0） ，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l：xy1=0 被圆 C 所截得的弦长为2 2，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_11 【答案】x+y+1=0【解析】设圆心坐标为（a，0） ，则由直线被圆 C 所截得的弦长为，得2212(1)2aa，解得 a=3 或1， 圆心在 x 轴的负半轴上， a=1，故圆心坐标为（1，0） ，直线 l 的斜率为 1， 过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 y0=（x1） ，即 x+y+1=012设), 0(为常数kkkba，则直线1byax恒过定点 12 【答案】1 1(,)k k 【解析】1byax变化为()1, ()10,axka ya xyky 对于任何aR都成立，则010 xyky 。13已知圆222:(2)1Oxy P（x，y）为圆上任一点，求21yx、x2y 的最大、最小值13 【解析】圆222:(2)1Oxy的圆心2( 2 ,0)O ，半径为 1，21yx表示点（x，y）与点 A（1，2）的斜率，设为 k，即有 kxy+2k=0，由直线和圆相切，d=r，即220211kkk，解得334k ，则21yx的最大值为334，最小时为334；令 x2y=t，由直线和圆相切的条件，可得20114t ，解得25t 或25 ，即有 x2y 的最大值为25 ，最小值为25 14. 已知曲线 C：x2y24ax2ay2020a0.(1) 证明：不论 a 取何实数，曲线 C 必过一定点；(2) 当 a2 时，证明曲线 C 是一个圆，且圆心在一条直线上；(3) 若曲线 C 与 x 轴相切，求 a 的值.14. （1） 曲线 C 的方程可变形为（x2y220）（4x2y20）a0.由224,200,2.42200,xxyyxy 解得 点（4，2）满足 C 的方程，故曲线 C 过定点（4，2）.（2） 原方程配方得（x2a）2（ya）25（a2）2. a2 时，5（a2）20， C 的方程表示圆心是（2a，a） ，半径是5|a2|的圆.设圆心坐标为（x，y） ，则有2 ,xaya 消去 a，得 y12x，故圆心必在直线 y12x 上.（3） 由题意得5|a2|a|，解得 a55.215如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，平行于 x 轴且过点 A(3 3，2)的入射光线1l被直线l:33yx反射，反射光线2l交 y 轴于 B 点，圆 C 过点 A 且与1l、2l相切 (1)求1l所在直线的方程和圆 C 的方程；(2)设 P、Q 分别是直线l和圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标15 【解析】(1)直线1l:2y ，设直线1l交直线l于点 D，则(2 3 2)D， l的倾斜角为 30， 2l的倾斜角为 60， 23k ， 反射光线2l所在的直线方程为 y-23(2 3)x，即340 xy已知圆 C 与直线1l相切于点 A，设 C(a，b) 圆心 C 在过点 D 且与l垂直的直线上，则232 3ba 38ba 又圆心 C 在过点 A 且与直线1l垂直的直线上， 3 3a 由 、 知 b -1 又 圆 C 的 半 径 r 2-(-1) 3 ， 故 所 球 圆 C 的 方 程 为22(3 3)(1)9xy(2)设点 B(0，-4)关于直线l的对称点为00()B x y，则0043232yx，且0043yx ，联立得：( 2 3 2)B ，由点与圆的位置关系知当B，P，Q 共线，且直线B Q过圆心 C 时，PB+PQ 最小，故 PB+PQ 的最小值为3B C设()P xy， 33PCB Ckkyx， 12 13 32 33 333yxyx，解得3212xy， 即3 122P，PB+PQ 的最小值为223( 2 33 3)(2 1)32 213B C