1、1.4.2-2 (2)高二数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何学习目标1.理解用向量夹角表示线线、线面、面面的夹角;2.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的相关问题.3.核心素养：数学推理、数学建模、数学运算. l11u 2u l2121212/,lluuRuu 使得一、回顾旧知1.空间中两条直线平行的判定1212,.u ul l 设分别是直线的方向向量2.空间中直线与平面平行的判定 lunnn0uu/ /l 1n 3.空间中平面与平面平行的判定的法向量分别是平面,21nn2121,/nnRnn使得2n 4.空间中两条直线垂直的判定.,2121的方向向量分别是直线设lluu021
2、2121uuuulll11u 2u l25.空间中直线与平面垂直的判定,uln设 是直线 的方向向量 是平面 的法向量 nlunuRnul使得,/6.空间中平面与平面垂直的判定21,nn的法向量分别是设平面02121nnnn 1n 2n 7.异面直线所成的角vuvuvu,coscos1l2luv8.直线与平面角nununu,cossinCABnu9.两个平面的夹角212121,coscosnnnnnn1n2n 二、巩固训练1.例9.,:30nFn F 设水平面的单位法向量为其中每一根 绳子的拉力均为 ，因为解3.2FnF n 在 上的投影向量为nF32F n 388,2FF n 合根绳子的拉力
3、的合力=1 9.89.8,FGN合礼物又降落伞匀速下落，439.8,F n 9.81.41().4 3FN21,0.01).kgm sN 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30 ，已知礼物的质量为每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程中，每根绳子拉力的大小(重量加速度g取9.8/精确到ABDP PE EF FG解：如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立空间直角坐标系，点D D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1DC=1(1)(1)证明：证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,)2
4、 2APE依依题题意意得得)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCD)21,0 ,21(),1,0 , 1 (EGPA且EGPAEGPA/2，即所以EDBPAEDBEG平面且平面而,(1)(1)求证：求证：PA/PA/平面平面EDBEDBEDBPA 平面所以，/2.例10. 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(2)(2)求证：求证：PBPB
5、平面平面EFDEFD(3)(3)求平面求平面CPBCPB与平面与平面PBDPBD的夹角的大小。的夹角的大小。zyx(1,1,0),(1,(2)1, 1)BPB 证明:依题意得1 111(0, , ),002 222DEPB DE 又故PBDE,EFPBEFDEE由已知且PBEFD平面,EFEFDDEEFD又平面平面ABDP PE EF FGzyx(1)(1)求证：求证：PA/PA/平面平面EDBEDB2.例10. 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PC
6、PC的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(2)(2)求证：求证：PBPB平面平面EFDEFD(3)(3)求平面求平面CPBCPB与平面与平面PBDPBD的夹角的大小。的夹角的大小。,2( ),3PBEFPBDFEFDCPBD已知由（ ）可知 故解是二面角的:平面角。,( , ,1,)( ,)PFxFyy zxz 的坐标设则点为PFkPB ( , ,1)(1,1, 1) ( , ,)x y zkk kk kzkykx1,即0PB DF (1,1, 1) ( , ,1)131 0k kkkkkk 13k(1)(1)求证：求证：PA/PA/平面平面EDBEDB2.例10.
7、 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(2)(2)求证：求证：PBPB平面平面EFDEFD(3)(3)求平面求平面CPBCPB与平面与平面PBDPBD的夹角的大小的夹角的大小. .ABDP PE EF FGzyx)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E1 11(, ,)3 66FE 1 111121(, ,) (,)13 663336cos1266363FE
8、FDEFDFE FD 因为60 ,6 .0CPEBFDD二面角的大小为所以即A1AB1BC1C1D1Fxyz解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD11(,0,1),2AF 111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111|AFBDAFBD 11304105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF3010011111111111190 ,Rt ABCBCAABCABCA B CBCCACCA BACBDAFDF中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知，取
9、、的中点、求与所成的角，的余弦值.3.变式: 在长方体 中，1111ABCDABC D5,8,ABAD=14,AA1112,为上的一点,且MBCB M1NAD点 在线段上，1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), ADADANM（2）求与平面所成的角的正弦值.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD A D2 55与平面所成角的正弦值是ADANM2 55提示:1111(1) 由 知，又，所以平面所以是平面的法向量。ADAMADANAMANAADAMNADAMN4.变式: 1111ABCDA B
10、 C D的棱长为1.111.B CA B C求与 面所 成 的 角 正 弦 值正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，设正方体棱长为设正方体棱长为1，1AB AD AA ， ，为单以以1(101)(110)ABAC ， ， ，1(111)C， ，11(010)BC 则， ，1()设为， ，AnxzCyB平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 则，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03cos313n BC ，1113所以与面所成的角的正弦
11、值为。3BCABC5.变式: 如图，甲站在水库底面上的点如图，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B 处处. .从从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd解：如图，如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则有根据向量的加法法则有DBCDACAB 222)(DBCDACABd 2222()ACCDBDAC
12、 CDAC DBCD DB DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab ABCD 所以所以.2cos2222abdcba 所以库底与水坝所成二面角的余弦值为所以库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba 6.变式:化为向量问题或向量的坐标问题进行向量运算回到图形7.当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量
13、表示 问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转 化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关 系以及它们之间距离和夹角等问题；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.解决立体几何问题有几种方法？综合法、向量法、坐标法三、课堂小结1.异面直线所成的角vuvuvu,coscos1l2luv2.直线与平面所成的角nununu,cossinCABnu3.两个平面的夹角212121,coscosnnnnnn1n2n (1)化为向量问题或向量的坐标问题(2)进行向量运算(3)回到图形4.当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):作业: 课本P41 习题1.4 4、6题
