1、2.5.1直线和圆的位置关系高二数学选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离；2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系；3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.4.核心素养：数学运算、直观想象、数学建模.(地平线)a(地平线)OOO一、引入：从海上日出整个情景中，你能得到直线与圆的几种位置关系？(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点.(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点.(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离.1.直线
2、与圆的位置关系的定义二、探究新知l lOlAOl lO相交相切相离 上述变化过程中，除了交点个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用利用这种变化关系来判定直线与圆的位置关系？2.探究：直线与圆的位置关系的判定 点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则：点在圆外 dr;点在圆上 d=r；点在圆内 dr.A BC位置关系数量关系3.回顾: 点与圆的位置关系判定直线和圆相交d rrdrdrd4.直线与圆位置关系的判定设圆心o到直线l的距离d，圆的半径r，则有：判定直线与圆的位置关系的方法有_种：(1)根据定义，由 ， 的个数来判断；(代数法）(2)根据性质,由 ， 的关系来判断。(几何法)两两直线与
3、圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r1.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 3)若d= 8 cm ,则直线与圆_, 直线与圆有_个公共点公共点. . 2)若d=6.5cm ,则直线与圆_, 直线与圆有_个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆, 直线与圆有_个公共点. 2.已知O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和O相离, 则 ; 2)若AB和O相切, 则 ; 3)若AB和O相交,则 .相交相交相切相切相离相离d 5cmd = 5cmd 0)22222201040rbrb）（）（下面用待定系数法来确定b和r的值.x2+(y
4、b)2=r2因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）满足方程解得：b=-10.5 r2=14.52所以圆的方程为: x2+(y+10.5)2=14.52P2PBAOA1A3A4A2xy解：解：如图建立平面直角坐标系，圆 心在y轴上,设圆心的坐标是（0,b）,圆的半径是r，那么圆的方程是10.变式:一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为20km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁的危险？xOy 分析：为解决这个问题，我们以小岛中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示
5、的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度.港口港口.轮船轮船小岛小岛.x轮船航线所在直线 l 的方程为：问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点 解：这样，受暗礁影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为:Oy港口港口.轮船轮船（4, 0）（0, 3）（2, 0）422 yx34203114xxyy即dlO的距离到直线圆心25124312040322d.,触礁危险轮船沿直线返港不会有相离与圆直线Ol10.变式:一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为20km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会
6、有触礁的危险？ 11.用坐标法解决问题的步骤 “三步曲”1).建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问 题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题。2).通过代数运算,解决代数问题（有目的地）.3).把代数运算结果“翻译”成几何结论.几何 代数几何 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半分析：将自然语言转化为图形语言，建立适当的直角坐标系证明问题。由已知，可选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，关键在求圆心坐标yOEMNxQABCD), 0(b)0 ,(c), 0(d)0 ,(a12.变式训练xyOOABCD 证明：以AC为x轴，BD为
7、y轴建立直角坐标系.则四个顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)E22|BCcb(a,0)(0,b)(c,0)(0,d),22ac bdO221|2O Ecb,2 2a dE1|2O EBC因此，圆心到一条边的距离等于等于这条边所对边长一半。第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系.第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量, 自点A(-3,3)发射的光线l 射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切,求反射光线所在直线的方程C(2, -2) l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=013.变式训练B(
8、-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) 反射光线所在的直线为4x3y+30 或3x4y30 (2)光线自A到切点所经过的路程根据光线的对称性，A（3，3）关于x轴的对称点为B(3,3），光线从A点到切点所经过的路程等于B点到切点所经过的路程，(7 )14.变式：求与圆C：x2+y2x+2y0，关于 直线L：xy+10对称的圆的方程xoyCC1l2215()(1),15221.4-2xry则圆心（ ，），11-1102( , )xya b 设圆心C（ ，）关于直线的对称点为CM 解决问题的关键在于会求点关于直线的对称点的坐标，主要利用两个结论： 两点的连线和已知直线垂直；两点的中点在已知直线
9、上解：圆x2+y2x+2y0转化为标准方程为：11210221112abba 32得a=-2,b=2235)24(x+2) +(y-1.直线与圆的位置关系：0 0drdr1 1d=rd=r切点切点切线切线2 2drdr交点交点割线割线ldrld rOldr. .A AC C B B. . .相离相离 相切相切 相交相交 五、课堂小结2.判定直线与圆的位置关系的方法有_种：两两(1)根据定义，由 ， 的个数来判断；(代数法）直线与圆的公共点 (2)根据性质,由 ， 的关系来判断。(几何法)圆心到直线的距离d与半径r(3)在实际应用中,_常用几何法， _常用代数法。做判断求交点作业: 课本P98 习题2.5 2 题
