1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 12.5 二项分布及其应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念 2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布 3.能解决一些简单的实际问题 . 以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用识别概率模型是解决概率问题的关键在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档 . 1条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做 条件概率 ，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A) P?AB?P?A? (P(A)0) 在古典概型中，若用 n(A)表
2、示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A) n?AB?n?A? . (2)条件概率具有的性质 0 P(B|A)1 ； 如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A) 2相互独立事件 (1)对于事件 A， B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A， B 是相互独立事件 (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A) P(B)， P(AB) P(B|A)P(A) P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立 (4)若 P(AB) P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独
3、立 3独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 两 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p，则 P(X k) Cknpk(1 p)n k(k 0,1,2， ? ， n)，此时称随机变量 X 服从 二项分布 ，记为 XB(n， p)，并称 p 为成功概率 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)条件概率一
4、定不等于它的非条件概率 ( ) (2)相互独立事件就是互斥事件 ( ) (3)对于任意两个事件，公式 P(AB) P(A)P(B)都成立 ( ) (4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于 (a b)n 二项展开式的通项公式，其中 a p， b 1 p.( ) (5)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率， P(AB)表示事件 A， B 同时发生的概率 ( ) 题组二 教材改编 2 P55T3天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 ( ) A 0.2 B 0.3
5、 C 0.38 D 0.56 答案 C 解析 设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A B A B， P(A B A B) P(A B ) P( A B) P(A)P( B ) P( A )P(B) 0.20.7 0.80.3 0.38. 3 P54T2已知盒中装有 3 个红球、 2 个白球、 5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 ( ) A.310 B.13 C.38 D.29 答案 B 解析 设 A 第一次拿到白球 ， B 第二次拿到红球 ， =【 ;精品教育资源文库 】 =
6、 则 P(AB) C12C110C13C19， P(A)C12C110， 所以 P(B|A) P?AB?P?A? 13. 题组三 易错自纠 4两个实习生每人加工一个零件，加工成 一等品的概率分别为 23和 34，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为 ( ) A.12 B.512 C.14 D.16 答案 B 解析 因为两人加工成一等品的概率分别为 23和 34， 且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P 23 14 13 34 512. 5从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为 “ 取到的 2 个数之和为偶数 ” ，事件 B
7、 为 “ 取到的 2 个数均为偶数 ” ，则 P(B|A)等于 ( ) A.18 B.14 C.25 D.12 答案 B 解析 P(A) C23 C22C25 25， P(AB)C22C25110， P(B|A) P?AB?P?A? 14. 6箱子里有 5 个黑球， 4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为 ( ) A.C35C14C45 B.?593 49 C35 14 D C14 ? ?59 3 49 答案 B 解析 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件
8、发生的概率为 ? ?59 3 49. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型一 条件概率 1已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些 灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.79 答案 D 解析 方法一 设事件 A 为 “ 第 1 次抽到的是螺口灯泡 ” ，事件 B 为 “ 第 2 次抽到的是卡口灯泡 ” ， 则 P(A) 310， P(AB) 310 79 730， 则所求概率为 P(B|A) P?AB?P?
9、A? 730310 79. 方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为 C17C1979. 2一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点 (每次都能投中 )设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间 的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)， P(A|B) 解 如图， n( ) 9， n(A) 3， n(B) 4， n(AB) 1， P(AB) 19， P(A|B) n?AB?n?B? 14. 思维升华 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得
10、P(B|A) P?AB?P?A? ，这是通用的求条件概率的方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 ，即 n(AB)，得 P(B|A) n?AB?n?A? . 题型二 相互独立事件的概率 典例 (2017 哈尔滨质检 )某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品
11、 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列 解 记 E 甲组研发新产 品成功 ， F 乙组研发新产品成功 ，由题设知 P(E) 23， P( E ) 13， P(F) 35， P( F ) 25，且事件 E 与 F， E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立 (1)记 H 至少有一种新产品研发成功 ，则 H E F ， 于是 P( H ) P( E )P( F ) 13 25 215， 故所求的概率为 P(H) 1 P( H ) 1 215 1315. (2)设企业可获利润为 X(万元 )，则 X 的可能取值为 0,100,120,220， 因为 P(
12、X 0) P( E F ) 13 25 215， P(X 100) P( E F) 13 35 315 15， P(X 120) P(E F ) 23 25 415， P(X 220) P(EF) 23 35 615 25， 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 215 15 415 25 思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； 正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算 跟踪训练 为了纪念 2017 在德
13、国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办 “ 环保我参与 ”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答 一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是 34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 14.若各家庭回答是否正确互不影响 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率 解 (1)记 “ 甲回答正确这道题 ” 、 “ 乙回答正确这道题 ” 、 “ 丙回答正确这道题 ” 分别为事件 A， B， C，则 P(A) 34， 且有? P? A ? P? C ? 112，
14、P?B? P?C? 14，即? 1 P?A?1 P?C? 112，P?B? P?C? 14，所以 P(B) 38， P(C) 23. (2)有 0 个家庭回答正确的概率为 P0 P( A B C ) P( A ) P( B ) P( C ) 14 58 13 596， 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1 P(A B C A B C A B C) 34 58 13 14 38 13 14 58 23 724， 所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为 P 1 P0 P1 1 596 724 2132. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型三 独立重复试验与二项分布 命题点 1 根据独立重
15、复试验求概率 典例 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公 园进行支持签名活动 . 公园 甲 乙 丙 丁 获得签名人数 45 60 30 15 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取 10 名幸运之星回答问题，从 10 个关于长征的问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品 (1)求此活动中各公园幸运之星的人数； (2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 22 ，求恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率； (3)若幸运之星小李对其中 8 个问题能答对，而另外 2 个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求 X 的分布列 解 (1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 4515010 3，6015010 4，3015010
