1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 第一节 排列、组合 本节主要包括 2 个知识点： 1.两个计数原理； 2.排列、组合问题 . 突破点 (一 ) 两个计数原理 基本知识 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n种不同的方法，那么完成这件事共有 N m n 种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m n 种不同的方法 3两个计数原理的比较 名称 分类加法计数原理 分步乘法计
2、数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意 “ 类 ” 与 “ 类 ” 之间的独立性和并列性分类计数原理可利用 “ 并联 ” 电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意 “ 步 ” 与“ 步 ” 之间的连续性分步计数原理可利用 “ 串联 ” 电路来理解 基本能力 1判断题 (1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同 ( ) (2)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成 ( ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步
3、骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 ( ) 答案： (1) (2) (3) 2填空题 (1)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是 _ 解析：从 0,1,2,3,4,5 六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类， 取出的两数都是=【 ;精品教育资源文库 】 = 偶数，共有 3 种方法； 取出的两数都是奇数，共 有 3 种方法，故由分类加法计数原理得共有 N 3 3 6(种 ) 答案： 6 (2)从集合 0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a， b 组成复数 a bi，其中虚数有_个 解析： a bi 为虚数， b0 ，即 b 有
4、 6 种取法， a 有 6 种取法， 由分步乘法计数原理知可以组成 66 36 个虚数 答案： 36 (3)书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书，第 3 层放有 6本不同的体育书从第 1,2,3 层分别各取 1 本书，则不同的取法种数为 _ 解析：由分步乘法计数原理， 从 1,2,3 层分别各取 1 本书不同的取法种数为 456 120. 答案： 120 全析考法 分类加法计数原理 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成 n 类 (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事 (3)把各类的方法数相加，
5、就可以得到完成这件事的所有方法数 例 1 (1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 ( ) A 4 种 B 6 种 C 10 种 D 16 种 (2)(2018 杭州二中月考 )满足 a， b 1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax2 2x b 0 有实数解的有序数对 (a， b)的个数为 ( ) A 14 B 13 C 12 D 10 解析 (1)分两类 ： 甲第一次踢给乙时 ， 满足条件的有 3 种方法 (如图 )， =【 ;精品教育资源文库 】 = 同理，甲先踢给丙时，满足条件有 3 种方法 由分类加法计数
6、原理，共有 3 3 6 种传递方式 (2) 当 a 0 时，有 x b2， b 1,0,1,2，有 4 种可能； 当 a0 时，则 4 4ab0 ， ab1 ， ( )当 a 1 时， b 1,0,1,2，有 4 种可能； ( )当 a 1 时， b 1,0,1，有 3 种可能； ( )当 a 2 时， b 1,0，有 2 种可能 有序数对 (a， b)的个数为 4 4 3 2 13. 答案 (1)B (2)B 易错提醒 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏 (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复 分步乘法计数原理 能用分步乘法计数原
7、理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要 经过 n 个步骤，缺一不可 (2)完成每一步有若干种方法 (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数 例 2 (1)从 2,0,1,8 这四个数中选三个数作为函数 f(x) ax2 bx c 的系数，则可组成 _个不同的二次函数，其中偶函数有 _个 (用数字作答 ) (2)如图，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A， B， C， D，E， F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有 _种 解析 (1)一个二次函数对应着 a， b， c(a0) 的一组取值，
8、 a 的取法有 3 种， b 的取法有 3 种， c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 332 18 个二次函数若二次=【 ;精品教育资源文库 】 = 函数为偶函数，则 b 0，同理可知共有 32 6 个偶函数 (2)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26 1 63 种可能情况 答案 (1)18 6 (2)63 易错提醒 (1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件 事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 (2)谨记分步必须满足的两个条
9、件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成 两个计数原理的综合问题 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解分类的关键在于做到 “ 不重不漏 ” ，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步 例 3 (1)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复 数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( ) A 144 个 B 120 个 C 96 个 D 72 个 (2)如图矩形的对角线把矩形分成 A， B， C， D 四部分，现用
10、5 种不同颜色给四部分涂色，每部分涂 1 种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有 _种不同的涂色方法 解析 (1)由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是 4 或 5.当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有 2432 48 个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从0,2,4 中任选一个，共有 3432 72 个偶数故符合 条件的偶数共有 48 72 120(个 ) (2)区域 A 有 5 种涂色方法；区域 B 有 4 种涂色方法；区域 C 的涂色方法可分 2 类：若 C与 A 涂同色，区域 D 有 4 种涂色方法；若 C 与 A 涂不同色，此时区域 C 有 3 种涂色方法
11、，区域 D 也有 3 种涂色方法，所以共有 544 5433 260 种涂色方法 答案 (1)B (2)260 方法技巧 使用两个计数原理进行计数的基本思想 对需用两个计数原理解决的综合问题要 “ 先分类，再分步 ” ，即先分为若干个 “ 既不重复也不遗漏 ” 的类，再对每类中的计数问题分成若干个 “ 完整的步骤 ” ，求出每个 步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 全练题点 1.考点二 某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果将这 3 个新节目插入节目单中，那么不同的
12、插法种数为 ( ) A 504 B 210 C 336 D 120 解析：选 A 分三步，先插一个新节目，有 7 种方法，再插第二个新节目，有 8 种方法，最后插第三个节目，有 9 种方法故共有 789 504 种不同的插法 2.考点二 某电话局的电话号码为 139 ，若前六位固定，最后五位数字是由 6 或 8 组成的，则这样的电话号码的个数为 ( ) A 20 B 25 C 32 D 60 解析：选 C 依据题意知，后五位数字由 6 或 8 组成，可分 5 步完成，每一步有 2 种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为 25 32. 3.考点一 从集合 1,2,3， ? ，
13、10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ( ) A 3 B 4 C 6 D 8 解析：选 D 先考虑递增数列，以 1 为首项的等比数列为 1,2,4； 1,3,9. 以 2 为首项的等比数列为 2,4,8. 以 4 为首项的等比数列为 4,6,9. 同理可得到 4 个递减数列， 所求的数列的个数为 2(2 1 1) 8. 4.考点一 在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为 “ 驼峰数 ” 比如 “102” ， “546” 为 “ 驼峰数 ” ，由数字 1,2,3,4 可构成无重复数字的 “ 驼峰数 ”有 _个 解析：十位数的数为 1 时，有
14、213,214,312,314,412,413，共 6 个，十位上的数为 2 时，有 324,423，共 2 个，所以共有 6 2 8(个 ) 答案： 8 5.考点三 如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用 )，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _种 解析：按区域 1 与 3 是否同色分类 区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3，有 4 种方法， =【 ;精品教育资源文库 】 = 再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色 )，有 321 6 种方法 所以区域 1 与 3 涂同色时，共有 46 24 种方法 区域 1 与 3 不同色：先涂区域 1 与 3，有 43 12 种方法， 第二步，涂区域 2 有 2 种涂色方法， 第三步，涂区域 4 只有一种方法， 第四步，涂区域 5 有 3 种方法 所以这时共
