1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 节 函数的奇偶性与周期性 基础对点练 (时间： 30 分钟 ) 1下列函数中，为奇函数的是 ( ) A y 2x 12x B y x， x 0,1 C y xsin x D y? 1， x 0，0， x 0， 1， x 0解析： 因为 y 2x 12x2 ，所以它的图象不关于原点对称，故 A 不是奇函数；选项 B 定义域不关于原点对称，故 B 不是奇函数；设 f(x) xsin x，因为 f( x) ( x)sin( x) xsin x f(x)，所以 y xsin x 是偶函数故选 D. 答案： D 2设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0
2、时， f(x) 2x2 x，则 f(1)等于 ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 解析： 因为 f(x)是奇函数，当 x0 时， f(x) 2x2 x， 所以 f(1) f( 1) 2( 1)2 ( 1) 3. 答案： A 3 (高考新课标全国卷 )设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( ) A f(x)g(x)是偶函数 B |f(x)|g(x)是奇函数 C f(x)|g(x)|是奇函数 D |f(x)g(x)|是奇函数 解析： f(x)是奇函数，则 f( x) f(x)， g(x)是偶函数， 则 g( x) g(x
3、)， 则 f( x)g( x) f(x)g(x)，选项 A 错； |f( x)|g( x) |f(x)|g(x)，选项 B 错； f( x)|g( x)| f(x)|g(x)|，选项 C 正确； |f( x) g( x)| f(x)g(x)|， D 错故选 C. 答案： C 4已知函数 f(x) x2 x 1x2 1 ，若 f(a)23，则 f( a)等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.23 B 23 C.43 D 43 解析： 根据题意， f(x) x2 x 1x2 1 1xx2 1，而 h(x)xx2 1是奇函数， 故 f( a) 1 h( a) 1 h(a) 2 1 h(
4、a) 2 f(a) 2 23 43. 答案： C 5已知 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时， f(x) lg x，设 a f? ?65 ， b f? ?32 ，c f? ?52 ，则 ( ) A c a b B a b c C b a c D c b a 解析： 因为 a f? ?65 f? ? 45 f? ?45 lg 45 lg 54， b f? ?32 f? ? 12 f? ?12 lg 12 lg 2， c f? ?52 f? ?12 lg 12 lg 2， 所以 b a c. 答案： A 6定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x 4) 1f x ，且 f(2) 1
5、，则 f(2 018)等于 ( ) A 1 B 1 C 2 D 2 解析： f(x 4) 1f x ， 所以 f(x 8) 1f x f(x)， 所以 f(2 018) f(2528 2) f(2) 1.故选 A. 答案： A 7已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x) g(x) ax a x 2(a 0，且 a1) 若 g(2) a，则 f(2)等于 ( ) A 2 B.154 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.174 D a2 解析： 因为 f(x)为奇函数， g(x)为偶函数， 所以 f( 2) f(2)， g( 2) g(2) a， 因为 f(2) g(
6、2) a2 a 2 2， 所以 f( 2) g( 2) g(2) f(2) a 2 a2 2， 由 联立得 g(2) a 2， f(2) a2 a 2 154. 答案： B 8函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x 0 时， f(x) x 1，则当 x 0 时， f(x) _. 解析： 因为 f(x)为奇函数， x 0 时， f(x) x 1， 所以当 x 0 时， x 0， f(x) f( x) ( x 1)， 即 x 0 时， f(x) ( x 1) x 1. 答案： x 1 9已知函数 f(x)为奇函数，函数 f(x 1)为偶函数， f(1) 1，则 f(3) _. 解析： 根据条件可
7、得 f(3) f(2 1) f( 2 1) f( 1) f(1) 1. 答案： 1 10已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x) g(x) ? ?12 x，则f(1)， g(0)， g( 1)之间的大小关系是 _ 解析： 在 f(x) g(x) ? ?12 x中，用 x 替换 x，得 f( x) g( x) 2x，由于 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 f( x) f(x)， g( x) g(x)，因此得 f(x) g(x) 2x.于是解得 f(x) 2 x 2x2 ， g(x)2 x 2x2 ，于是 f(1)34， g(0)
8、1， g(1) 54，故 f(1) g(0) g( 1) 答案： f(1) g(0) g( 1) 11 (2018 峨眉山模拟 )设 f(x)的定义域为 ( ， 0) (0， ) ，且 f(x)是奇函数，当 x 0 时， f(x) x1 3x. (1)求当 x 0 时， f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x) x8. 解： (1)因为 f(x)是奇函数，所以当 x 0 时， =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) f( x)， x 0， 又因为当 x 0 时， f(x) x1 3x， 所以当 x 0 时， f(x) f( x) x1 3 x x1 3 x. (2)f(x) x8，当
9、x 0 时，即 x1 3x x8， 所以 11 3x 18，所以 13x 1 18，所以 3x 1 8， 解得 x 2，所以 x (0,2)， 当 x 0 时，即 x1 3 x x8，所以 11 3 x 18， 所以 3 x 32，所以 x 2， 所以解集是 ( ， 2) (0,2) 能力提升练 (时间： 15 分钟 ) 12函数 y f(x)(x R)的图象如图所示，下列说法正确的是 ( ) 函数 y f(x)满足 f( x) f(x)； 函数 y f(x)满足 f(x 2) f( x)； 函数 y f(x)满足 f( x) f(x)； 函数 y f(x)满足 f(x 2) f(x) A B
10、 C D 解析： 根据图 象知函数 f(x)的图象关于原点对称，故为奇函数，所以 正确；又其图象关于直线 x 1 对称，所以 正确 答案： C 13 (2018 济南一模 )已知函数 y f(x)是 R 上的偶函数，当 x1， x2 (0， ) 时，都有 (x1 x2) f(x1) f(x2) 0. 设 a ln 1 ， b (ln ) 2， c ln ，则 ( ) A f(a) f(b) f(c) B f(b) f(a) f(c) C f(c) f(a) f(b) D f(c) f(b) f(a) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： 根据已知条件便知 f(x)在 (0， ) 上是减函数
11、，且 f(a) f(|a|)， f(b) f(|b|)，f(c) f(|c|)，而 |a| ln 1， |b| (ln ) 2 |a|,0 |c| ln 2 |a|. 答案： C 14 (2018 菏泽模拟 )定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f(x 2) 0，且 f(4 x) f(x)现有以下三种叙述： 8 是函数 f(x)的一个周期； f(x)的图象关于直线 x 2 对称； f(x)是偶函数 其中正确的序号是 _ 解析： 由 f(x) f(x 2) 0，得 f(x 2) f(x)， 则 f(x 4) f(x 2) f(x)， 即 4 是 f(x)的一个周期， 8 也是 f
12、(x)的一个周期， 由 f(4 x) f(x)，得 f(x)的图象关于直线 x 2 对称； 由 f(4 x) f(x)与 f(x 4) f(x)， 得 f(4 x) f( x)， f( x) f(x)，即函数 f(x)为偶函数 答案： 15已知函数 f(x)? x2 2x， x 0，0， x 0，x2 mx， x 0是奇函数 (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间 1， a 2上单调递增，求实数 a 的取值范围 解： (1)设 x 0，则 x 0， 所以 f( x) ( x)2 2( x) x2 2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)， 于是 x 0 时， f
13、(x) x2 2x x2 mx， 所以 m 2. (2)由 (1)知 f(x)在 1,1上是增函数， 要使 f(x)在 1， a 2上单调递增 结合 f(x)的图象知? a 2 1，a 21 ， 所以 1 a3 ，故实数 a 的取值范围是 (1,3 16设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x 2) f(x)，当 x0,2时， f(x) 2x x2， =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 2,4时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0) f(1) f(2) f(2 018) (1)证明： 因为 f(x 2) f(x
14、)， 所以 f(x 4) f(x 2 2) f(x 2) f(x)， 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数 (2)解： 由 f(x 2) f(x)， 且 x 0,2时， f(x) 2x x2， 所以当 x 2,4时， f(x) f(x 2) 2(x 2) (x 2)2 x2 6x 8. 即 f(x) x2 6x 8， x 2,4 (3)解： 因为 f(0) 0， f(2) 0， f(1) 1， f(3) 1， 所以 f(0) f(1) f(2) f(3) 0， 所以 f(0) f(1) f(2) f(2 018) f(2 016) f(2 017) f(2 018) f(0) f(1) f(2) 1.
