1、第16讲导数在函数中的应用,1.函数的单调性,单调递减,若函数 yf(x)在(a，b)内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内_.,2.函数的极值,f(x)0,f(x)0,(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值.,(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左右两边导函数值的符号.如果左正右负，
2、那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左右两侧符号一样，,那么这个根不是极值点.,极小值,3.函数的最值(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小,值，f(b)为函数的最大值；,极值,若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各_与端点
3、值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,1.如图 2-16-1 是函数 f(x)的导函数 f(x)的图象，则下列判,断中正确的是(,),A,A.函数 f(x)在区间(3,0)上是减函数B.函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数C.函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数,D.函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数,图 2-16-1,解析：当 x(3,0)时，f(x)0，则 f(x)在(3，0)上是减函数.其他判断均不正确.,D,A,2.函数f(x)(4x)ex的单调递减区间是( )A.(，4)B.(，3)C.(4，)D.(3，),解析：f(x)ex(4x)exex(3x)，令
4、f(x)0，3x3. 3.已知e为自然对数的底数，则函数yxex的单调递增区,间是(,),A.1，)C.1，),B.(，1D.(，1,A,4.函数f(x)x22ln x的单调递减区间是( )B.(1，)A.(0,1)C.(，1)D.(1,1),时，f(x)0，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数.,考点 1,利用导数研究函数的单调性,例 1：(1)(2017 年浙江)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图,),象如图 2-16-2，则函数 yf(x)的图象可能是(图 2-16-2,A,B,C,D,解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值,点的横坐标大于
5、0.故选 D.,答案：D,(2)已知函数f(x)(x22x)ex，xR，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为_.解析：因为f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0.,(3)(2015 年陕西)设 f(x)xsin x，则 f(x)(,),A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数解析：因为 f(x)1cos x0，所以函数为增函数，排除选项 A 和 C.又因为 f(0)0sin 00，所以函数存在零点，排除选项D.故选 B.答案：B,【规律方法】求函数的单调
6、区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.,考点 2,含参数函数的单调性,例2：已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在区间(1，)上为增函数，求 a 的取值范围；(4)若 f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围；(5)若 f(x)的单调递减区间为(1,1)，求 a 的值；(6)若 f(x)在区间(1,1)上不单调，求 a 的取值范围
7、.,(2)因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)3x2a0在R上恒成立，即a3x2对xR恒成立.因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即a的取值范围为(，0.(3)因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立.所以a3x2在(1，)上恒成立.所以a3.即a的取值范围为(，3.,【规律方法】若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，求参数取值范围问题，一是可转化为 f(x)0或 f(x)0恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到；二
8、是利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.,【互动探究】1.若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，,),则实数 m 的取值范围为(,答案：D,答案：C,思想与方法,运用分类讨论思想讨论函数的单调性,例题：(2016年新课标)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；,(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.,解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0.,所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.,设 a0
9、；当 x(ln(2a)，1)时，f (x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，,)上单调递增.,故 f(x)在(1，)上至多有一个零点，在(，1)上至多,有一个零点.,由于 f(2)a0，f(1)ee(x2)a(x1)2a(x1)2e(x1)e.,因此，当x0.,又 f(1)e0，根据零点存在定理，f(x)在(，1)上,有且只有一个零点.所以 f(x)有两个零点.,设a0，则f(x)(x2)ex，所以f(x)有一个零点.,(1，)上单调递增.,又当x1时，f(x)fln(2a)aln(2a)2210，,故 f(x)不存在两个零点；,(，1)，(ln(2a)，)上单调递增.,又当 x1 时，f(x)f(1)e0，f(x)0，此时函数 f(x)单调递增.,
