1、期末复习专项训练（一）立体几何线面角大题11三棱柱中，侧棱与底面垂直，分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求直线和平面夹角的正弦值2如图，已知三棱锥，等腰直角三角形的斜边是，且，是上的点，且（）求证：；（）若，求直线与平面所成角的正弦值3如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（）证明：平面平面；（）若，求直线与平面所成角的余弦值4如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，点在棱上，分别为，的中点，过，三点的平面交于点，且平面（1）求的值；（2）求与平面所成角的正弦值5如图所示，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且（）求和面所成的角的正弦值；（）求点到直线的距离；
2、（）线段上是否存在点使过、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由6如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，为等边三角形（1）求证：；（2）若，求与平面所成角的正弦值期末复习专项训练（一）立体几何线面角大题1答案解析1三棱柱中，侧棱与底面垂直，分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求直线和平面夹角的正弦值（1）证明：连接，在中，分别为和的中点，则，因为平面，平面，故平面；（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，2，0，2，0，所以，设平面的法向量为，则，令，则，故，则，故直线和平面夹角的正弦值为2如图，已知三棱锥，等腰直角三角形的斜边是，且，是上的点，且（）
3、求证：；（）若，求直线与平面所成角的正弦值）证明：取中点，连接、，因为等腰直角三角形的斜边是，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以（）解：取中点，连接，设点到平面的距离为，因为，所以，解得，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为3如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（）证明：平面平面；（）若，求直线与平面所成角的余弦值证明：底面，平面，又，平面平面平面，平面平面；由底面，即为四棱锥的高，是直角三角形；底面是矩形，为的中点，且设，取的中点为作交于，连接，可得，那么且，是直角三角形，根据勾股定理：，则；由是直角三角形，可得，解得以为坐标原点，分别为
4、，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由，0，0，0，2，所以，2，0，2，设平面的一个法向量为，则，即，令，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为4如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，点在棱上，分别为，的中点，过，三点的平面交于点，且平面（1）求的值；（2）求与平面所成角的正弦值（1）因为平面，平面，平面平面，所以因为为的中点，为的中点，所以又因为底面为直角梯形，所以因为平面，平面，所以平面又因为平面平面，所以，从而四边形为平行四边形，又，所以，所以，所以，所以所以的值为（2）由题可知，所以，所以又因为平面平面，且交于，所以平面又，以为坐标原点
5、，分别以向量所在方向为，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系所以，0，0，2，3，0，由（1）可知，即所以，又为的中点，所以，1，所以，设平面的一个法向量，所以即令，所以，所以设与平面所成的角的平面角为，所以故与平面所成角的正弦值为5如图所示，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且（）求和面所成的角的正弦值；（）求点到直线的距离；（）线段上是否存在点使过、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由解：（）因为平面平面，平面平面，又因为，所以平面，又因为是正方形，所以、两两垂直，建系如图，由题意知，0，0，1，2，0，1，2，令，0，因为，所以是平面的法向量，所以和面所成的角的正弦值为（）因为，所以点到直线的距离为（）假设线段上存在点使过、三点的平面和直线垂直，2，2，要使过、三点的平面和直线垂直，只要，即，解得，所以当时，过、三点的平面和直线垂直6如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，为等边三角形（1）求证：；（2）若，求与平面所成角的正弦值（1）证明：取中点，连接、，因为为等边三角形，所以，因为底面为菱形，所以为等边三角形，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以（2）解：因为，所以，因为，所以，所以，由（1）知、两两垂直，建系如图，由题意知，0，0，0，令，1，因为，所以平面的法向量是，所以与平面所成角的正弦值为
