1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.5 简单的三角恒等变换 最新考纲 考情考向分析 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆 ). 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式 的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和
2、性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度 . 1两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( ) cos cos sin sin (C( ) cos( ) cos cos sin sin (C( ) sin( ) sin cos cos sin (S( ) sin( ) sin cos cos sin (S( ) tan( ) tan tan 1 tan tan (T( ) tan( ) tan tan 1 tan tan (T( ) 2二倍角公式 sin 2 2sin cos ； cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2si
3、n2 ； tan 2 2tan 1 tan2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 知识拓展 1降幂公式： cos2 1 cos 22 ， sin2 1 cos 22 . 2升幂公式： 1 cos 2 2cos2 ， 1 cos 2 2sin2 . 3辅助角公式： asin x bcos x a2 b2sin(x )，其中 sin ba2 b2， cos aa2 b2 . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)存在实数 ， ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ( ) (2)对任意角 都有 1 sin ? ?sin 2 cos 2 2.( )
4、 (3)y 3sin x 4cos x 的最大值是 7.( ) (4)公式 tan( ) tan tan 1 tan tan 可以变形为 tan tan tan( )(1 tan tan )，且对任意角 ， 都成立 ( ) 题组二 教材改编 2 P127T2若 cos 45， 是第三象限的角，则 sin? ? 4 等于 ( ) A 210 B. 210 C 7 210 D.7 210 答案 C 解析 是第三象限角， sin 1 cos2 35， sin ? ? 4 35 22 ? ? 45 22 7 210 . 3 P131T5sin 347cos 148 sin 77cos 58 . 答案
5、22 解析 sin 347cos 148 sin 77cos 58 sin(270 77)cos(90 58) sin 77cos 58 ( cos 77)( sin 58) sin 77cos 58 =【 ;精品教育资源文库 】 = sin 58cos 77 cos 58sin 77 sin(58 77) sin 135 22 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 P146T4tan 20 tan 40 3tan 20tan 40 . 答案 3 解析 tan 60 tan(20 40) tan 20 tan 401 tan 20tan 40 ， tan 20 tan 40 tan 60(
6、1 tan 20tan 40) 3 3tan 20tan 40 ， 原式 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3. 题组三 易错自纠 5化简： cos 40cos 25 1 sin 40 . 答案 2 解析 原式 cos 40cos 25 1 cos 50 cos 40cos 25 2sin 25 cos 4022 sin 50 2. 6 (2018 昆明模拟 )若 tan 13， tan( ) 12，则 tan . 答案 17 解析 tan tan( ) tan? ? tan 1 tan? ?tan 12131 12 13 17. 7 (2018 烟台模拟 )已知 ?
7、 ?0， 2 ，且 sin? ? 4 210，则 tan 2 . 答案 247 解析 方法一 sin? ? 4 210，得 sin cos 15， ? ?0， 2 ， 平方得 2sin cos 2425， 可求得 sin cos 75， sin 45， cos 35， tan 43， tan 2 2tan 1 tan2 247. 方法二 ? ?0， 2 且 sin? ? 4 210， =【 ;精品教育资源文库 】 = cos ? ? 4 7 210 ， tan ? ? 4 17 tan 11 tan ， tan 43. 故 tan 2 2tan 1 tan2 247. 第 1 课时 两角和与差
8、的正弦、余弦和正切公式 题型一 和差公式的直接应用 1 (2018 青岛调研 )已知 sin 35， ? ? 2 ， ， tan( ) 12，则 tan( )的值为 ( ) A 211 B.211 C.112 D 112 答案 A 解析 ? ? 2 ， ， tan 34，又 tan 12， tan( ) tan tan 1 tan tan 34 121 ? ? 12 ? ? 34 211. 2 (2017 山西太原五中模拟 )已知角 为锐角，若 sin? ? 6 13，则 cos? ? 3 等于( ) A.2 6 16 B.3 28 C.3 28 D.2 3 16 答案 A 解析 由于角 为锐
9、角，且 sin? ? 6 13， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 cos? ? 6 2 23 ， 则 cos? ? 3 cos? ? ? 6 6 cos? ? 6 cos 6 sin? ? 6 sin 6 2 23 32 13 12 2 6 16 ， 故选 A. 3计算 sin 110sin 20cos2155 sin2155 的值为 答案 12 解析 sin 110sin 20cos2155 sin2155 sin 70sin 20cos 310 cos 20sin 20cos 50 12sin 40sin 40 12. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结
10、构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 题型二 和差公式的灵活应用 命题点 1 角的变换 典例 (1)设 ， 都是锐角，且 cos 55 ， sin( ) 35，则 cos . 答案 2 525 解析 依题意得 sin 1 cos2 2 55 ， 因为 sin( ) 35 ， 所以 ? ? 2 ， ，所以 cos( ) 45. 于是 cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 45 55 35 2 55 2 525 . (2)(2017 泰安模拟 )已知 cos(75 ) 13，则 cos(30 2 )的值为 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案
11、 79 解析 cos(75 ) sin(15 ) 13， cos(30 2 ) 1 2sin2(15 ) 1 29 79. 命题点 2 三角函数式的变换 典例 (1)化简：?1 sin cos ? ?sin 2 cos 22 2cos (00， 2 2cos 4cos2 2 2cos 2. 又 (1 sin cos )? ?sin 2 cos 2 ? ?2sin 2cos 2 2cos2 2 ? ?sin 2 cos 2 2cos 2 ? ?sin2 2 cos2 2 2cos 2 cos ， 故原式 2cos 2cos 2cos 2 cos . (2)原式 2cos21022sin 10co
12、s 10 sin 10 ?cos 5sin 5 sin 5cos 5 cos 102sin 10 sin 10 cos25 sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10 sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 10 2cos 10 cos 10 2sin 202sin 10 =【 ;精品教育资源文库 】 = cos 10 2sin?30 10 ?2sin 10 cos 10 2? ?12cos 10 32 sin 102sin 10 3sin 102sin 10 32 . 引申探究 化简：?1 sin cos ? ?sin 2 cos 22 2cos (00， 6 ? ? 6 ， 2 ， sin ? ? 6 35. sin ? ?2 12 sin? ?2? ? 6 4 sin 2? ? 6 cos 4 cos 2? ? 6 sin 4 2sin? ? 6 cos? ? 6 22 ? ?2cos2? ? 6 1 2 35 45 22 ? ?2 ? ?45 2 1 12 225 7 250 17 250 . (2)原式 1 tan 17 tan 28 tan 17tan 28 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 tan 45(1 tan 17&
