1、13.3垂直的判定与性质,高考数学,1.直线、平面垂直的有关概念(1)直线与平面垂直如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直.该直线叫做这个平面的垂线,该平面叫做这条直线的垂面.即对于直线l和平面,l?l垂直于内的任意一条直线.(2)平面与平面垂直两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直.(3)空间距离(i)点到直线的距离:点和它在直线上射影的距离.,知识清单,(ii)点到平面的距离:点和它在平面上射影的距离.(iii)直线到与它平行的平面的距离:直线上任一点到平面的距离.(iv)两平行平面的距离:一个平面内任一点到另一个平面的距离.,拓展延
2、伸1.无论是线面垂直还是面面垂直,都源自线与线的垂直,在处理实际问题的过程中,可以先从题设条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论入手分析所要证明的垂直关系,从而架起已知与未知之间的“桥梁”.2.在线面垂直和面面垂直的判定定理中,有一些非常重要的限制条件,如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的垂线”等,这既为证明指明了方向,又有很强的制约性,所以使用这些定理时,一定要注意体现逻辑推理的规范性.,证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理(ab,ac,b?,c?,bc=M?a).(3)平行线垂直平面的传递性(ab,b?a).(4)面面垂直的性质(,=l,a?,al?a)
3、.(5)面面平行的性质(a,?a).,方法技巧,例1如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB=2,AD=?,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.,解析(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=?,EF=AB-DE=1,FC=2.在RtBEF中,BE=?.在RtCFB中,BC=?.在BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1,因为BB1BC=B,所以BE平面BB1C1C.(2)连结B1E,则三棱锥E-A1B1C1的体积V=?AA1
4、?=?.A1C1=?=3?,EC1=?=3?,A1E=?=2?,故?=3?.设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1-A1C1E的体积V=?d?=?d,从而?d=?,所以d=?.故点B1到平面EA1C1的距离为?.,证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义.(2)面面垂直的判定定理(a,a?).证明线线、线面、面面垂直时,要掌握好线面垂直、面面垂直的判定与性质定理,并依据定理准确地找出(或作出)有关的直线或平面,这是解决问题的难点.,(3)平面BEF平面PCD.,例2(2013北京,17,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PA
5、AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;,证明(1)因为平面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PAAD,PA?平面PAD,所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABDE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因为ABAD,而且四边形ABED为平行四边形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD.,所以PACD.因为PAAD=A,所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PDEF.所以CDEF.因为BEEF=E,所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.,
