1、第37讲数列的递推关系与通项,考试要求掌握常见求通项的方法.,1.(必修5P41习题13改编)已知等差数列an的公差为d，那么anam_d.,答案(nm),诊 断 自 测,3.若数列an满足a11，annan1(n2，nN*)，则数列an的通项公式为_.,4.在等差数列an中，a11，d2，Sn2Sn24，则n_.,解析因为a11，d2，所以Snn2，Sn2Sn(n2)2n224，解得n5.答案5,5.在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，中，an，an1，an2的关系是_.,答案an2anan1,知 识 梳 理,考点一利用“累乘、累加”法求通项,解(1)因为Snn2an(nN*)，当n
2、2时，Sn1(n1)2an1.所以anSnSn1n2an(n1)2an1.,因为b12，bn12bn，所以bn是首项为2，公比为2的等比数列，故bn2n.,假如存在自然数m，使得对于任意nN*，n2，,【例12】 已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN*)，求数列an的通项公式.,解由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足).,规律方法求数列的
3、通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意配凑变形法.变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求得通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明.,考点二构造等差、等比数列求通项,解 (1)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，故an23n11.,因为lg a1lg 22lg 2，,规律方法此题通过两边同时取对数，将一个复杂的数列转化为等比数列.通常来说，我们可以将数列取对数后转化成等差数列.将等差数列
4、放到指数函数yax中转化为等比数列.,【训练2】 (2018苏州期中)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，且a1，a25，a3成等差数列.,(1)求a1，a2的值；(2)求证：数列an2n是等比数列，并求数列an的通项公式.(1)解由题意，得2a1a23，2(a1a2)a37.又因为a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32a210，联立，解得a11，a25.,(2)证明由题意知，当nN*时，2(Sn1Sn)an2an12n22n1，即an23an12n1，an13an2n(n2).由(1)知，a23a12，所以an13an2n(nN*)，所以an12n13an2n2n13
5、an32n3(an2n).又a120，所以an2n0，,所以数列an2n是等比数列，且公比为3，所以an2n(a12)3n13n，an3n2n.,考点三由an与Sn的递推关系求通项【例3】 (一题多解)记数列an的前n项和为Sn.若a11，Sn2(a1an)(n2，nN*)，求Sn.,解法一当n2时，S22(a1a2)，从而得a2a11.当n3时，有Sn12(a1an1)，所以anSnSn12an2an1，即an2an1.又a22a1，,法二当n2时，S22(a1a2)，从而a2a11.当n3时，anSnSn1，所以Sn2(1SnSn1)，即Sn2Sn12，所以Sn22(Sn12).又因为S2
6、22，S121，所以S222(S12)，所以数列Sn2是以1为首项、2为公比的等比数列，从而Sn2(1)2n1，所以Sn22n1.,规律方法法一的思考方法是先求出数列an的通项公式，再求它的前n项和，所以将Sn转化为an，通过研究an来求和；法二的思考方法是直接研究Sn，所以将an转化为Sn后再求它的通项.这是研究Sn与an的关系问题的常用的两种解法，解题时要合理选择.,【训练3】 (2018苏州调查)已知数列an共有2k项(k2，kN*)，数列an的前n项和为Sn，且满足a12，an1(p1)Sn2(n1，2，2k1)，其中常数p1.,(1)证明an1(p1)Sn2(n1，2，2k1)，an(p1)Sn12(n2，3，2k)，两式相减得an1an(p1)(SnSn1)，即an1an(p1)an，an1pan(n2，3，2k1)，原式中，令n1，得a2(p1)a12pa1，,an是等比数列.,
