1、8.6空间向量及其运算,第八章立体几何与空间向量,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.空间向量的有关概念,知识梳理,0,1,相等,相等,平行或重合,平面,相同,相反,2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ，其中x，yR，a，b为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p ，a，b，c叫作空间的一个基底.,xayb,xaybzc,3.空间向量的数量积及运算律(1)数量
2、积及相关概念两向量的夹角,a，b,0a，b,互相垂直,两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则 叫作向量a，b的数量积，记作 ，即ab .(2)空间向量数量积的运算律(a)b ；交换律：ab ；分配律：a(bc) .,|a|b|cosa，b,|a|b|cosa，b,(ab),abac,ba,ab,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,【知识拓展】,几何画板展示,几何画板展示,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向
3、量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有 ()(6)若ab0，则a，b是钝角.(),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二教材改编,1,2,4,5,6,解析,3,答案,1,2,4,5,6,答案,3.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.,3,解析,1222122(12cos 120021cos 120) 2，,题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(2，1,6)
4、，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是 A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直,解析,1,2,4,5,6,答案,3,又AB与CD没有公共点，ABCD.,所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是,5.与向量(3,4,5)共线的单位向量是_.,1,2,4,5,6,答案,3,解析,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析P，A，B，C四点共面，,题型分类深度剖析,题型一空间向量的线性运算,自主演练,解析,答案,答案,解析,用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾
5、相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.,解答,题型二共线定理、共面定理的应用,师生共研,解答,(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？,解当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，,MN平面ABB1A1.,跟踪训练 (2017抚州模拟)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点.,解答,(2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C.,证明,EG与AC无公共点，EGAC，EG?平面AB1
6、C，AC平面AB1C，EG平面AB1C.,FG与AB1无公共点，FGAB1，FG?平面AB1C，AB1平面AB1C，FG平面AB1C，又FGEGG，FG，EG平面EFG，平面EFG平面AB1C.,解答,题型三空间向量数量积的应用,师生共研,典例 (2017济南模拟)如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；,则|a|b|1，|c|2，ab0，cacb21cos 1201.,(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；,解设异面直线AC1与A1D所成的角为，,解答,(3)求证：AA1BD.,证明,(
7、1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.,跟踪训练 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.,解答,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,解答,典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点.,坐标法在立体几何中的应用,思想方法,思想方法指导,规范解答,思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问
8、题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解.,(3)求证：A1BC1M.,规范解答,(1)解如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，,(2)解由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)，,课时作业,1.在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxay
9、bzc.其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.,2.(2017黄冈模拟)已知向量a(2m1,3，m
10、1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析当m0时，a(1,3，1)，b(2,0,0)，a与b不平行，m0，ab，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则 A.l B.lC.l D.l与斜交,答案,解析a(1,0,2)，n(2,0，4)，n2a，即an，l.,解析,4.已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,
11、8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析abx23，x1，b(1,1,2)，,5.(2017郑州调研)已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则等于 A.9 B.9 C.3 D.3,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018绵阳质检)如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D
12、两点间的距离是,解析,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_.,答案,60,解析由题意，得(2ab)c0102010，即2acbc10.又ac4，bc18，,又b，c0，180，b，c120，两直线的夹角为60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,锐角,所以CBD为锐角.同理BCD，BDC均为锐角.
13、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,m1，c(2，1,2)或(2,1，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.,解答,解a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，,12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中
14、点，计算：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60.,(2)EG的长；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.,14.若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐标，已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是 A.(4,0,3) B.(3,1,3)C.(1,2,3) D.(2,1,3),解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为x，y，z，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，p在a，b，c下的坐标为(4,2,3)，p
