1、5.1平面向量的概念及线性运算,第五章平面向量,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.向量的有关概念,知识梳理,大小,方向,长度,0,0,平行,重合,平行,相等,相同,相等,相反,三角形,2.向量的线性运算,平行四边形,ba,a(bc),几何画板展示,几何画板展示,三角形,相同,相反,0,()a,aa,ab,|a|,几何画板展示,3.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线.,【知识拓展】,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向
2、量.()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(3)若ab，bc，则ac.()(4)若向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二教材改编2.已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且 a， b，则 _， _.(用a，b表示),答案,解析,1,2,3,4,5,6,ba,ab,3.在平行四边形ABCD中，若 则四边形ABCD的形状为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,矩形,由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，
3、四边形ABCD是矩形.,题组三易错自纠4.对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,答案,1,2,3,4,5,6,解析若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.,解析,5.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.,解析,答案,解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，,1,2,3,4,5,6,解析,答案,1,2,3,4,5,6,题型分类深度剖析,1.给出下列四个命题：若|a|b|，则ab；若A
4、，B，C，D是不共线的四点，则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是 A. B. C. D.,解析,答案,题型一平面向量的概念,自主演练,解析不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；,又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，,正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac；不正确.当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条
5、件.综上所述，正确命题的序号是.故选A.,2.设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是 A.0 B.1C.2 D.3,解析,答案,解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.,向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长
6、度相等.(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.,命题点1向量的线性运算,题型二平面向量的线性运算,多维探究,答案,解析,(2)(2017青海西宁一模)如图，在ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，点E在AD边上，且AD3AE，则用向量,答案,解析,命题点2根据向量线性运算求参数典例 (1)在ABC中，点M，N满足则x_，y_.,答案,解析,答案,解析,平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；
7、求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.,跟踪训练 (1)如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么 等于,答案,解析,因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，,(2)如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中 则的值为_.,答案,解析,由向量加法的平行四边形法则可知，,典例 设两个非零向量a与b不共线.,证明,题型三向量共线定理的应用,师生共研,求证：A，B，D三点共线；,又它们有公共点B，A，B，D三点共
8、线.,(2)试确定实数k，使kab和akb共线.,解答,解假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.,若将本例(1)中“ 2a8b”改为“ amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？,解答,即4a(m3)b(ab).,故当m7时，A，B，D三点共线.,(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不
9、共线.,跟踪训练 (1)(2017资阳模拟)已知向量 a3b， 5a3b， 3a3b，则 A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线,解析,答案,A，B，D三点共线.故选B.,(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式 成立的实数x的取值集合为 A.0 B.?C.1 D.0，1,解析,答案,x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.,典例 下列叙述错误的是_.(填序号)若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同；|a|b|ab|?a与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得
10、ba；若ab，则ab.,容易忽视的零向量,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,答案,错解展示:中两个向量的和仍是一个向量，所以 0.错误答案,现场纠错,解析对于，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同.对于，当a，b之一为零向量时结论不成立.对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0或a0但b0时，不存在.对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以 0.对于，当0时，不管a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错.,纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.,课时作业,1.(2018济南调研)以下命题：|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；两个具有公共
11、终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析错误.,解析,答案,2.设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是 A.a与a的方向相反 B.a与2a的方向相同C.|a|a| D.|a|a,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反；B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|
12、a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小.,3,A.ab B.ab C.ba D.不能确定,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.A，B，C B.A，B，D C.B，C，D D.A，C，D,3,5.(2018济宁模拟)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N， 则mn的值为,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.1 B
13、.2C.3 D.4,3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析O为BC的中点，,3,mn2.,6.(2018聊城质检)设a，b不共线 若A，B，D三点共线，则实数p的值为 A.2 B.1C.1 D.2,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2apb(2ab)，a，b不共线，22，p，1，p1.,3,7.已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下列结论正确的是_.(填序号)ab；ab；|a|b|；abab.,解析,答案,1,2,
14、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析根据向量加法、减法的几何意义可知，|ab|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|ab|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以ab.,3,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,所以正确命题的序号为.,9.如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，且BD2DC，若 (m，nR)，则mn _.,解析,答案,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2,3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,10.在直角梯形ABCD中，A90&
