1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十一单元 选 考 4 部分 第 67讲 坐标系 课前双击巩固 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换 : 的作用下 ,点 P(x,y)对应到点 P(x,y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ,简称伸缩变换 . 2.极坐标系 (1)设 M是平面内一点 ,极点 O与点 M的距离 |OM|叫作点 M的 ,记为 . 以极轴 Ox为始边 ,射线 OM为终边的角 xOM叫作点 M的 ,记为 . 有序数对 ( , )叫作点 M的极坐标 ,记作 M( , ). (2)极坐标与直角坐标的关系 :把 直角坐标系的原点作为极
2、点 ,x轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取相同的长度单位 ,设 M是平面内任意一点 ,它的直角坐标是 (x,y),极坐标是( , ),则它们之间的关系为 x= ,y= sin ,由此得 2= ,tan = (x 0). 3.常用简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点 , 半径为 r的圆 =r 圆心为 (r,0), 半径为 r的圆 = 2rcos 圆心为 , 半径为 r的圆 = 2rsin (0 0,0b0) ( 为参数 ) 3.直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0,y0),倾斜角为 的直线 l的参数方程是 (t是参数 ). 若 M1,M2是 l上的两点 ,其
3、对应的参数分别为 t1,t2,则 : (1)M1,M2两点的坐标分别是 (x0+t1cos ,y0+t1sin ),(x0+t2cos ,y0+t2sin ); (2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1| |M0M2|=|t1t2|; =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)若线段 M1M2的中点 M所对应的参数为 t,则 t= ,中点 M到定点 M0的距离|MM0|=|t|= ; (4)若 M0为线段 M1M2的中点 ,则 t1+t2=0. 课堂考点探究 探究点一 曲线的参数方程 1 在平面直角坐标系 xOy中 ,过点 A(a,2a)的直线 l的倾斜角为 ,点 P(x,y)为直线 l上
4、的动点 ,且 |AP|=t.圆 C以 C(2a,2a)为圆心 , 为半径 ,Q(x,y)为圆 C上的动点 ,且 CQ与 x轴正方向所成的角为 . (1)分别以 t, 为参数 ,求出直线 l和圆 C的参数方程 ; (2)当直线 l和圆 C有公共点时 ,求 a的取值范围 . 总结反思 几种常见曲线的参数方程 : (1)直线的参数方程 . 过点 P(x0,y0)且倾斜角为 的直线 l的参数方程为 (t为参数 ). (2)圆的参数方程 . 若圆心为点 M0(x0,y0),半径为 r,则圆的参数方程为 ( 为参数 ). (3)椭圆 + =1(ab0)的参数方程为 ( 为参数 ). =【 ;精品教育资源文
5、库 】 = (4)双曲线 - =1(a0,b0)的 参数方程为 ( 为参数 ). (5)抛物线 y2=2px(p0)的参数方程为 (t为参数 ). 式题 2017长沙二模 在平面直角坐标系中 ,已知直线 l的参数方程为 (s为参数 ),曲线 C的参数方程为 (t为参数 ),若直线 l与曲线 C相交于 A,B两点 ,求|AB|. 探究点二 参数方程与普通方程的互化 2 2017临汾三模 在直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1的参数方程为( 为参数 ),以坐标原点为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C2的极坐标方程为 sin = m. (1)求曲线 C1的普通方 程和曲线 C2的直角坐标
6、方程 ; (2)若曲线 C1与曲线 C2有公共点 ,求实数 m的取值范围 . 总结反思 (1)消去参数的方法一般有三种 : 利用 解方程的技巧 求出参数的表达式 ,然后代入消去参数 ; 利用 三角恒等式 消去参数 ; 根据参数方程本身的结构特征 ,灵活选用一些方法 ,从 整体 上消去参数 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)在参数方程与普通方程的互化中 ,必须使两种方程中的 x,y的 取值范围保持一致 . 式题 2017湖北六校二联 已知直线 l: (t为参数 ),曲线 C1: (为参数 ). (1)设 l与 C1相交于 A,B两点 ,求 |AB|; (2)若把曲线 C1上各点的横坐标
7、缩短为原来的 ,纵坐标缩短为原来的 ,得到曲线 C2,设点 P是曲线 C2上的一个动点 ,求它到直线 l的距离的最大值 . 探究点三 直线的参数方程 3 2017雅安三诊 平面直角坐标系 xOy中 ,曲线 C的参数方程为 ( 为参数 ),在以原点为极点 ,x轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,直线 l的极坐标方程为 sin = . (1)求曲线 C的普通方程和直线 l的倾斜角 ; (2)设点 P(0,2),直线 l和曲线 C交于 A,B两点 ,求 |PA|+|PB|. 总结反思 (1)直线的参数方程有多种形式 ,只有标准形式中的参数才具有几何意义 ,即 参数 t的绝对值表示对应的点到定点的距离 .
8、(2)根据直线的参数方程的标准形式中 t的几何意义 ,有如下常用结论 : 若直线与圆锥曲线相交 ,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; 若定点 M0(标准形式中的定点 )是线段 M1M2(点 M1,M2对应的参数分别为 t1,t2,下同 )的中点 ,则 t1+t2=0; =【 ;精品教育资源文库 】 = 设线段 M1M2的中点为 M,则点 M对应的参数为 tM= . 式题 2017鹰潭一模 在直角坐标系 xOy中 ,过点 P 作倾斜角为 的直线 l与曲线 C:x2+y2=1 相交于不同的两点 M,N. (1)写出直线 l的参数方程 ; (2)求 + 的取值范围 . 探
9、究点四 圆、圆锥曲线的参数方程及应用 4 在平面直角坐标系 xOy中 ,直线 l的参数方程为 (t为参数 ,0 b,那么 ;如果 bb?bb,bc,那么 ,即 ab,bc? . (3)如果 ab,那么 a+c ,即 ab?a+c . 推论 :如果 ab,cd,那么 ,即 ab,cd? . (4)如果 ab,c0,那么 ac ;如果 ab,cb0,那么 an bn(n N,n 2). (6)如果 ab0,那么 (n N,n 2). 2.基本不等式 (1)如果 a,b R,那么 a2+b2 ,当且仅当 时 ,等号成立 . (2)如果 a0,b0,那么 ,当且仅当 时 ,等号成立 . (3)如果 a0,b0,那么 称为 a,b的 平均 , 称为 a,b的 平均 .
