1、考点11 二次函数一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）（2）顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k为常数，a0），顶点坐标是（h，k）（3）交点式：y=a（xx1）（xx2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a0三、二次函数的图象及性质1二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）对称轴x=顶点（，）a的符号a0a0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=时，y最小值=当x=时，y最大值=最点抛物线
2、有最低点抛物线有最高点增减性当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征aa0开口向上a0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0与x轴有两个交点b24ac0方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b24ac=0方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b24ac0方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点 六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他
3、点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结
4、合题干中与动点有关的条件进行计算考向一 二次函数的有关概念1二次函数的一般形式的结构特征：函数的关系式是整式；自变量的最高次数是2；二次项系数不等于零2一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化典例1 （2019北京临川学校初三月考）如果y=（m2）x是关于x的二次函数，则m=A1B2C1或2Dm不存在【答案】A【解析】依题意，解得m=1，故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a.典例2 （2019河北初三期中）下列函数是二次函数的是Ay=2x+2By=2xCy=x2+2Dy=x2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可A、y=2x+2，是一次
5、函数，故此选项错误；B、y=2x，是正比例函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x2，是一次函数，故此选项错误故选C1（2019上饶市广信区第七中学初三月考）二次函数的图像的顶点坐标是A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）2（2019湖北初三期中）将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为A3，6B3，6C3，1D，考向二 二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典例3函数y=ax2+bx+a+b（a0）的图象可能是A BC D【答案
6、】C【解析】A，由图象可知，开口向下，则a0，又因为顶点在y轴左侧，则b0，则a+b0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b0矛盾，故此选项错误；B，由图象可知，开口向下，则a0，又因为顶点在y轴左侧，则b0，则a+b0，而图象与y轴交点为（0，1）在y轴正半轴，可知a+b=1与a+b0，顶点在y轴右侧，则b0，顶点在y轴右侧，则b0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0与a+b0矛盾，故此选项错误故选C典例4如果二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是Aa0 Bb0 Cac0 Dbc0【答案】C【解析】抛物线
7、开口向下，a0，b0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，ac0故选C3如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是ABCD4已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是ABCD5二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论正确的是Aa0Ca+b+c0Db24ac3时，y随x的增大而增大【答案】B【解析】，a=30，抛物线开口向上，故不正确；对称轴为，故正确；顶点坐标为（4，2），故不正确；当时，随的增大而增大，故不正确；故选B【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对
8、称轴a决定了开口方向.典例6（2019福建厦门外国语学校初三期中）在函数中，当随的增大而减小时，则的取值范围是ABCD【答案】D【解析】二次函数的对称轴为直线，时，随的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0），当a0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根2当=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物
9、线顶点的横坐标3当0时）或在x轴的下方（a0时）典例9 二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是x6.176.186.19y0.030.010.02A0.03x0.01B0.01x0.02C6.18x6.19D6.17x6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18x0的解集是Ax3C3x1Dx1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=1，二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（3，0），二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点
10、是（1，0），由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+20的解集是3x0的解集是A1x5Cx1Dx511抛物线y=2x24x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x24x+m=0的解是_考向六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题典例11（2019湖北初三期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6tt2在飞机着陆滑
11、行中，滑行最后的150m所用的时间是sA10B20C30D10或30【答案】A【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t1.5t2=1.5（t20）2+600，此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来因此t的取值范围是0t20；即当y=600150=450时，即60tt2=450，解得：t=10，t=30（不合题意舍去），滑行最后的150m所用的时间是2010=10，故选A【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程.典例12（2019河南初三期中）如图，一段抛物线：y=x（x4）（0x4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180得
12、到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3；如此变换进行下去，若点P（17，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为A2B2C3D3【答案】D【解析】y=x（x4）（0x4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，点A1（4，0），OA1=4，OA1=A1A2=A2A3=A3A4，OA1=A1A2=A2A3=A3A4=4，点P（17，m）在这种连续变换的图象上，174=41，点P（17，m）在C5上，x=17和x=1时的函数值相等，m=1（14）=1（3）=3，故选D【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出x=17和x=1时的函数值相等是解题关键.12（2019安
13、徽初三月考）如图所示的是跳水运动员10跳台跳水的运动轨迹，运动员从10高处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点离墙1，离水面，则运动员落水点离墙的距离是A2B3C4D513（2020湖北初三期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是求：（1）铅球在行进中的最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？考向七 存在性问题与动点问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动
14、过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化典例13 （2019山西初三期末）综合与探究：已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点.（1）求点的坐标；（2）求证：为直角三角形；（3）如图，动点同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，点以每秒姨个单位长度的速度沿射线方向运动当点停止运动时，点随之停止运动设运动时间为秒，连结，将沿翻折，使点落在点处，得到当点在上时，是否存在某一时刻，使得？（点不与点重合）若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在；【解析】（1）当时，解得：点的坐标为，点的坐标为当时，点的坐标为
15、为直角三角形由可知为直角三角形.且，又，沿翻折后，点落在轴上点处，由翻折知，当时，解得：t=，即：当t=秒时，【名师点睛】本题考查二次函数解析式与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，综合性较强，掌握相关知识并灵活应用是本题的解题关键.14（2019贵州初三期中）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C，C点的坐标为（0，2），连接BC，以BC为边，点O为对称中心作菱形BDEC点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M.（1）求
16、抛物线的解析式.（2）x轴上是否存在一点P，使三角形PBC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由. 1（2020湖北初三期中）抛物线的对称轴是ABCD2（2020湖北初三期中）将抛物线向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为ABCD3（2020荆门市屈家岭管理区第一初级中学初三期中）若b0，则二次函数y=x2+2bx1的图象的顶点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4（2019山西初三期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是ABCD5（2020荆门
17、市屈家岭管理区第一初级中学初三期中）直线y=ax+b和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是ABCD6（2020荆门市屈家岭管理区第一初级中学初三期中）若函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有一个公共点，则常数m的值为Am=1Bm=1或m=2Cm=0Dm=1或m=07（2019安徽初三期末）如图，边长为的正的边在直线上，两条距离为的平行直线和垂直于直线，和同时向右移动（的起始位置在点），速度均为每秒个单位，运动时间为（秒），直到到达点停止，在和向右移动的过程中，记夹在和间的部分的面积为，则关于的函数图象大致为ABCD8（2019新疆初三期末）如图，已知抛物线y1x2+1，直线y
18、2x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2若y1y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1y2，记My1y2例如：当x2时，y13，y21，y1y2，此时M3下列判断中：当x0时，M随x的增大而增大；使得M大于1的x值不存在；使得M的值是或，其中正确的个数有A1B2C3D49抛物线y=（x2）（x+3）与y轴的交点坐标是_10若A（3.5，y1）、B（1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=x24x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是_（用连接）11二次函数y=x（x6）的图象的对称轴是_12已知一个二次函数的图象经过A（1，6）、B（3，6）、C（0，3）三点，求这
19、个二次函数的解析式，并指出它的开口方向13为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住（如图）设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？14已知二次函数y=x2x+（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（3）将二次函数y=x2的图象如何平移能得到二次函数y=x2x+的图象，请写出平移方法15如图，抛
20、物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点（1）求抛物线的表达式（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、为顶点的三角形与BCO相似若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由16如图，二次函数的图象与轴交于点A、B，与轴交于点C（1）_；_；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P作于点Q，连接PC，求线段PQ的最大值；若以P、C、Q为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标 1（2019重庆）抛物线的对称轴是A直线B直线C直线D直线2（2019荆门）抛物线与坐标轴的交点个数为A0B1C2D33（201
21、9咸宁）已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是ABCD4（2019 青岛）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是ABCD5（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为ABCD6（2019成都）如图，二次函数的图象经过点，下列说法正确的是ABCD图象的对称轴是直线7（2019雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是A的最小值为1B图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线C当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D它的图象可以由的图象向右平移2
22、个单位长度，再向上平移1个单位长度得到8（2019岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x11x2，则c的取值范围是Ac-3Bc-2CcDc19（2019泸州）已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是ABCD10（2019随州）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论：；是关于的一元二次方程的一个根其中正确的有A1个B2个C3个D4个11（2019南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间
23、t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是A25 min50 min，王阿姨步行的路程为800 mB线段CD的函数解析式为C5 min20 min，王阿姨步行速度由慢到快D曲线段AB的函数解析式为12（2019嘉兴）小飞研究二次函数y=（xm）2m+1（m为常数）性质时如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线y=x+1上；存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x12m，则y1y2；当1x0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与
24、售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是1400元，求m的值变式拓展1【答案】A【解析】，二次函数的图象的顶点坐标是（2，3），故选A.【名师点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其顶点式一般形式的特点.2【答案】A【解析】一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式是3x26x+1=0，各项的系数分别是：3，6故选A【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化3【答案】D【解析】当a0，b0时，抛物线开口向上，对称轴x=0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，无选项符合；当a0，b0时，抛物线开口向下，对称轴x=0，b0，故A错误；由
25、图象知，与y轴的交点在负半轴，c0，故C正确；抛物线与x轴有两个交点，= b24ac 0，故D错误故选C6【答案】C【解析】（1）反比例函数，当m0时，图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，当m0，y1y3y2；故选A【名师点睛】此题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键8【答案】B【解析】抛物线C：y=x2+2x3=（x+1）24，抛物线对称轴为直线x=1抛物线与y轴的交点为A（0，3）则与A点关于直线x=1对称的点是B（2，3）若将抛物线C平移到C，并且C，C关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称，则B点平移后坐标应为（4，3）因此将抛物线C向右平移4个单位长度故选B9【答案】B【解析】把抛物线y=12x21先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为y=12（x1）23，故选B10【答案】A【解析】由图可知，对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），又抛物线开口向下，不等式ax2+bx+c0的解集是1x5故选A11【答案】x1=1，x2=3【解析】观察图象可知，抛物线y=2x24x+m与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x=1，抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），一元二次方程2x24x+m=0的解为x1=1，x2=
