1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题立体几何（一）教学目的教学内容一、 知识网络二、命题分析立体几何在高考中考查的主要内容有：空间几何体的性质、线面关系的判定与证明、表面积与体积的运算、空间几何体的识图，空间中距离、角的计算等从近几年高考来看，一般以23个客观题来考查线面关系的判定、表面积与体积、空间中的距离与角、空间几何体的性质与识图等，以1个解答题来考查线面关系的证明以及距离、角的计算在高考中属于中档题目而三视图作为新课标的新增内容，在2011年高考中，有多套试卷在此知识点命题，主要考查三视图和直观图，特别是通过三视图来确定原图形的相关量预计今后高考中
2、，三视图的考查不只在选择题、填空题中出现，很有可能在解答题中与其他知识点结合在一起命题. 三、复习建议在2012年高考复习中注意以下几个方面：(1)从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变，除保留传统的“四选一”的选择题外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类题目往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作证求”，强调作图、证明和计算相结合在2012年高考复习中注意以下几个方面：(1)从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式
3、最为多变，除保留传统的“四选一”的选择题外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类题目往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作证求”，强调作图、证明和计算相结合(3)从方法上来看，着重考查公理化方法，如解答题注重理论推导和计算相结合，考查转化的思想方法，如要把立体几何问题转化为平面几何问题来解决；考查模型化方法和整体考虑问题、处理问题的方法，如把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握形体，巧妙地把问题解决；考查割补法、等积变换法以
4、及变化运动的思想方法，极限方法，在理科中利用空间向量的数量积及坐标运算来解决立体几何问题是高考的重点，主要以解答题形式出现，有时也以选择题或填空题来考查(4)从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求“四会”；会画图根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；会识图根据题目所给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；会析图对图形进行必要的分解、组合；会用图对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力四、知识讲解第一节 简单几何体及三视图、直观图（一）高考目标考纲解读1认识
5、柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图3会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求 )考向预测1以考查三视图、直观图为主，同时考查空间几何体的表面积、体积、空间想象能力等考查方式有由空间几何体画出其三视图，求三视图的面积或边长再者由三视图得出空间图形，求出空间几何体的棱长，元素间的位置关系
6、，进而求出表面积及体积2有时以实物为背景，考查空间几何体的表面积、体积公式，以及运算能力、应用数学知识解决实际问题的能力3以选择题、填空题的形式考查，有时也会出现在解答题中（二）课前自主预习知识梳理1多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面 ，侧棱都 且 ，上底面和下底面是 的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形(3)棱台可由 的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形 2旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其 旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到(3)圆台可以由直角梯形绕 或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半
7、圆或圆绕其 旋转得到3空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括 、 、 4空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用 画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy .(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度变为 (4)在已知图形中过O点作z轴垂直于 xOy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于
8、xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度 5中心投影与平行投影(1)平行投影的投影线互相 ，而中心投影的投影线相交于一点(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在 投影下画出来的图形（三）基础自测1(2010北京理)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为() 答案C解析本题考查了三视图知识，解题的关系是掌握三视图与直观图的知识，特别是应明确三视图是从几何体的哪个方向看到的由三视图中正(主)视图、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C. 2(2010福建理)如图
9、，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是()AEHFG B四边形EFGH是矩形 C是棱柱 D是棱台答案D解析EHA1D1，EHB1C1B1C1面EFGH，B1C1FG，是棱柱，故选D.3右图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为()A.B. C1 D. 答案B解析如图，在平面直观图中，BC1，BCD45，BD.4已知某物体的三视图如图所示，那么这
10、个物体的形状是() A六棱柱 B四棱柱 C圆柱 D五棱柱答案A解析由俯视图可知，该物体的形状是六棱柱，故选A.5用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体最多为_个答案7解析由主视图和左视图知，该几何体由两层组成，底层最多有326个，上层只有1个，故最多为7个6(2010新课标理)正(主)视图为一个三角形的几何体可以是_(写出三种)答案三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分)解析本题考查空间几何体的三视图本题属于开放性题目，答案不唯一正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形7已知某几何体的
11、俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S. 分析由三视图的形状大小，还原成几何体；再利用体积公式和表面积公式求解解析(1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO4，O点是AC与BD的交点该几何体的体积V86464.(2)如图所示，OEAB，OFBC，侧面VAB中，VE5，SVABABVE8520，侧面VBC中，VF4，SVBCBCVF6412.该几何体的侧面积S2(SVABSVB
12、C)4024.点评由三视图还原成几何体，需要对常见的柱、锥、台、球的三视图非常熟悉，有时还可根据三视图的情况，还原成由常见几何体组合而成的组合体（四）典型例题1.命题方向：空间几何体的结构特征例1下列命题中，成立的是()A各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B四面体一定是三棱锥C棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥分析结合棱锥、正棱锥的概念逐一进行考查解析A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三
13、棱锥；对于C，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥答案B点评本题考查棱锥、正棱锥的概念以及四面体与三棱锥的等价性，当三棱锥的棱长都相等时，这样的三棱锥叫正四面体判断一个命题为真命题要考虑全面，应特别注意一些特殊情况跟踪练习1：以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥、得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案A解析应以直角三角形的一条直角边为轴
14、旋转才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转可得到圆台；它们的底面为圆面，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，可得到一个圆锥和圆台应选A.2.命题方向：直观图例2若已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析如图是ABC的平面直观图ABC.作CDy轴交x轴于D，则CD对应ABC的高CD，CD2CD2CO2aa.而ABABa，SABCaaa2答案C点评解决这类题的关键是根据斜二测画法求出原三角形的底和高，将水平放置的平面图形的直观图，还原成原来的图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于
15、y轴的线段长度变为直观图中平行于y轴的线段长度的2倍跟踪练习2已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2分析先根据题意画出直观图，然后根据直观图ABC的边长及夹角求解答案D解析如图、所示的实际图形和直观图由可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于D，则CDOCa.SABCABCDaaa2.3.命题方向：三视图例3下列图形中的图(b)是根据图(a)中的实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？若不正确请改正并画出左视图解析主视图和俯视图都不正确主视图的上面的矩形中缺少中间小圆柱形成的轮廓线(用虚线表示)；左视图的轮廓是两个矩
16、形叠放在一起，上面的矩形中有2条不可视轮廓线下面的矩形中有一条可视轮廓线(用实线表示)，该几何体的三视图如图所示： 点评简单几何体的三视图的画法应从以下几个方面加以把握：(1)搞清主视、左视、俯视的方向，同一物体由放置的位置不同，所画的三视图可能不同(2)看清简单组合体是由哪几个基本元素组成(3)画三视图时要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，还要注意几何体中与投影垂直或平行的线段及面的位置关系跟踪练习3(2010浙江文)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是() A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3答案B解析本题考查了三视图及几何体体积的求解由三视图可知，该
17、几何体是由一个正四棱台和一个长方体构成的一个组合体，V台2(1664)cm3，V长方体44232cm3V总V台V长方体32cm3.（五）思想方法点拨：1要注意牢固把握各种几何体的结构特点，利用它们彼此之间的联系来加强记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类；圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱体、锥体、台体三类来分别认识只有对比才能把握实质和不同，只有联系才能理解共性和个性2要适当与平面几何的有关概念、图形和性质进行对比，通过平面几何与立体几何相关知识的比较，丰富自己的空间想象力对组合体可通过把它们分解为一些基本几何体来研究3画图时要紧紧把握住一斜在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中均与x轴成45；二测
18、两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半4三视图(1)几何体的三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”注意虚、实线的区别(2)应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图中所涉及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、线、面之间的关系及图中的一些线段的长度，这样我们就可以解出有关的问题5本节常涉及一些截面问题，它把空间图形的性质、画法及有关论证、计算融为一体，常见的、基本的截面问题，如直截面、对角截面、中截面等，要求熟知并掌握要知道这些截面的
19、形状、位置，并能画出其图形，这常常可以将较难的问题变得简单，如“用一个平面截一个球，截面是圆面”这一点很重要，它把有关球的一些问题转化为圆的问题来解决(六)课后强化作业一、选择题1(2010陕西理)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.B. C1D2答案C解析C该几何体是如图所示的直三棱柱V11.2下列命题中：与定点的距离等于定长的点的集合是球面；球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；一个平面与球相交，其截面是一个圆，其中正确命题的个数为()A0B1C2D3答案C解析命题、都对，命题一个平面与球相交，其截面是一个圆面，故选C.点评要注意球与球面的区别3(2009上海文，1
20、6)如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是()答案B解析本题考查三视图的基本知识及空间想象能力由题可知，选B.4如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为()A. B. C. D.答案A解析由三视图知，该几何体是底半径为1的圆锥，轴截面是边长为2的正三角形，高为，体积V.5如图，OAB是OAB水平放置的直观图，则OAB的面积为()A6 B3 C6 D12答案D解析若还原为原三角形，则易知OB4，OAOB，OA6，SAOB4612.6棱长为1的正方体A
21、BCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为()A. B1 C1 D.答案D解析由条件知球O半径为，球心O到直线EF的距离为，由垂径定理可知直线EF被球O截得的线段长d2.7(2010广东)如图所示，ABC为正三角形，AABBCC，CC平面ABC且3AABBCCAB，则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是()答案D解析本小题考查线面垂直的判定方法及三视图的有关概念由于AABBCC及CC平面ABC，知BB平面ABC，又CCBB，且ABC为正三角形，故正(主)视图为D.8用单位正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图
22、所示，则它的体积的最小值与最大值分别为()A9与13 B7与10 C10与16 D10与15答案C解析由俯视图知几何体有三行和三列，且第三列的第一行，第二行都没有小正方体，其余各列各行都有小正方体，再根据主视图，第一列中至少有一行有三层，第二列中至少有一行有二层，第三列第三行只有一层，这样就可推出小正方体的个数最少要10个小正方体，最多要16个小正方体二、填空题9球面上三点A、B、C，AB18，BC24，AC30，球心到平面ABC的距离为球半径的一半，则球半径为_答案10解析AB2BC2AC2，ABC为直角，AC为球小圆的直径，设球半径为R，则2152R2，R10.10(2010福建理)若一个
23、底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，则其表面积等于_答案62解析由正视图知，底面三角形边长为2，侧棱长为1，S表23262.11(2011通州)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是_cm3.答案解析几何体的直观图如图SABCD.且知面SCD面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SECD于E，得SE面ABCD，SE20cm，VSABCDS正方形ABCDSEcm3.三、解答题12某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点(1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，证明：PD面AGC；证明：面PB
24、D面AGC.解析(1)由三视图可得几何体是以2为底面边长，高为的正四棱锥，如图所示(2)连接BD交AC于O，连接OG，在BDP中，PDOG，又PD平面AGC中，因此PD平面AGC；连接PO，则PO平面ABCD，则POAC，又ACBD，则AC平面PBD，又AC平面AGC，因此平面PBD平面AGC.13如图所示，正四棱台AC的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高分析由于棱台是由棱锥平行于底面的平面截得的，因此正棱锥中的有关直角三角形对应到正棱台中将转化为直角梯形，只要找出包含侧棱和斜高的直角梯形即可求解解析设棱台两底面的中心是O和O，BC、BC的中点分别是E、
25、E.连接OO、EE、OB、OB、OE、OE，则四边形OBBO、OEEO都是直角梯形在正方形ABCD中，BC16cm，则OB8 cm，OE8 cm.在正方形ABCD中，BC4 cm.则OB2 cm，OE2 cm.在直角梯形OOBB中，BB19 cm.在直角梯形OOEE中，EE5 cm.所以这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.14(2009广东)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线B
26、D平面PEG.解析(1)该安全标识墩侧视图如图所示(2)该安全标识墩的体积VVPEFGHVABCDEFGH40406040402064000(cm)3.(3)由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，FHEG，又ABCDEFGH为长方体，BDFH.设点O是EFGH的对称中心，PEFGH是正四棱锥，PO平面EFGH.而FH平面EFGH，POFH.FHPO，FHEG，POEGO，PO平面PEG，EG平面PEG，FH平面PEG.而BDFH，故BD平面PEG.第二节 点、线、面的位置关系与公理（一）高考目标考纲解读1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理
27、、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题考向预测1以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题3多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低中档题（二）课前自主预习知识梳理1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：经过 的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有 通过该点的公共直线公理4：平行于 的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角过空间任意一点P分别引两
28、条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的 就是异面直线a，b所成的角范围 3直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况4平面与平面的位置关系有 、 两种情况5定理空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 （三）基础自测1给出下列命题：和直线都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一个平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析对于两条直线可以异面；对于三条直线若交于一点，则可以异面；对于这三点若共线，则两平面可以相交；对于三条平行线可在同一平面内2(2010
29、湖北文)用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac; 若ab，bc，则ac；若a，b，则ab; 若a，b，则ab.其中真命题的序号是()A B C D答案C解析本题主要考查平面几何，立体几何的线线，线面的关系平行关系的传递性举反例： ab，bc，则ac. 举反例： a，b，则a与b相交垂直于同一平面的两直线互相平行故，正确3(2010全国卷文)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90答案C解析本题考查线线角，考查学生的作图能力和计算能力分别取AA1、BA、A1C1的中点E
30、、F、G，联结EF、FG、EG.则FEG或FEG的补角是BA1与AC1所成的角，设BAACAA11，则EF，EG，FG，cosFEG，BA1与AC1所成的角为60.4(2008辽宁文)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条答案D解析在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点5下列各图是正方体和正四面体P、Q、R、S分别
31、是所在棱的中点，过四个点共面的图形是_答案解析在选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面可证中PQRS为梯形；中可证PQRS为平行四边形，中如右图取A1A与BC的中点为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形6直线AB、AD，直线CB、CD，点EAB，点FBC，点GCD，点HDA，若直线EH直线FGM，则点M与BD的关系是_答案MBD解析由EHFGM，知MEH，所以M平面CBD，同理M平面ABD，又平面ABD平面CBDBD，故MBD.7已知空间四边形ABCD的对角线AC10，BD6，M，N分别是AB，CD的中点，MN7.求异面直线AC与BD所成的
32、角解析如图，取BC的中点E，连接EM，EN，因为M，N分别是AB，CD中点，所以EMAC，ENBD.所以MEN就是异面直线AC与BD所成的角或所成角的补角在MEN中，由余弦定理得cosMEN，又因为异面直线所成角的范围是(0,90，所以异面直线AC与BD所成的角为60.（四）典型例题1.命题方向：点共线、线共点问题例1如图所示，已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB，BC，AC延长后，分别交平面于点P，Q，R.求证：点P，Q，R在同一直线上分析要证明P，Q，R三点共线，只需证明P，Q，R三点在平面和平面ABC的交线上，可先用任意两点确定交线所对应的直线，再证明第三点在该直线上，本题体现
33、了空间问题转化为平面问题的思想和方法证明由已知AB的延长线交平面于点P，根据公理3，三角形ABC所在的平面与平面必相交于一条直线，设为l.P直线AB，P平面ABC.又直线AB平面P，P平面.P是平面ABC与平面的公共点平面ABC平面l，Pl.同理，Ql，Rl.点P，Q，R在同一条直线l上点评易忽视先找出平面ABC与平面的交线，从而缩小目标范围跟踪练习1已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点F，G分别是边BC，CD上的点，且(如图所示)，求证：三条直线EF，GH，AC交于一点分析欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上证明1，EH綊BD，而，且FGBD，四边
34、形EFGH为梯形，从而两腰EF，GH必相交于一点P.P平面ABC.同理P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交线AC上故EF，GH，AC三条直线交于一点点评平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用，只是在思考中应考虑空间图形的新特点.2.命题方向：共面问题例2求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内分析已知a、b、c、d四条直线不共点但是两两相交，求证：a、b、c、d共面a、b、c、d四条直线或者有三条共点或无三条共点，分两种情形证：(1)设有三条直线共点，不失一般性，可设此三条直线为 a、b、c，它们均过P点(如下图甲)，此时d必不过点P(因四线不共点)因此过d和点P可以确定平
35、面，再设法证明其他三条直线a、b、c均在内即可(2)设没有三条直线共点(如图乙)abQa与b可确定一个平面再设法证明其余二线c、d均在内即可证明(1)若a、b、c三线共点P，但点P直线d.直线d和其外一点P可以确定一个平面又adC，C且点P直线a 平面，同理可证：直线b上有两点B、P在平面上，b 平面，c 平面，a、b、c、d四线共面(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点abQ，a与b可以确定一个平面又cbE，Eb 平面，E同理caF，Fa 平面，F直线c上有两点E、F在上c 平面同理可证d 平面 故a、b、c、d四线共面.得(1)、(2)可知：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面
36、内点评利用基本性质2及其三个推论，可以用来证明点，线共面证明此类问题，常用的方法有：(1)纳入法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内(2)同一法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，另一些点和直线在另外一个确定的平面内，最后再证明这些平面重合(3)反证法：可以假设这些点和直线不在一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设、肯定结论跟踪练习2 一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面解析已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c，l共面证明：ab，a、b确定一个平面，
37、laA，lbB，A，B，故l.又ac，a、c确定一个平面，同理可证l，a且l，过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故与重合，即直线a，b，c，l共面.3.命题方向：异面直线问题例4如下图所示正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解析：(1)不是异面直线理由：M、N分别是A1B1、B1C1的中点MNA1C1.又A1A綊D1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线 (2)是异
38、面直线证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，B面CC1D1D，这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾假设不成立，故D1B与CC1是异面直线点评：(1)见中点，应构造中位线并利用中位线性质转化为平行关系(2)判定两条直线异面可用：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线，或用反证法(3)异面直线的判定高考一般不会出大题，但在选择题中可能会涉及跟踪练习3(1)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A. B. C. D.分析：三棱柱中AA1CC1，故A1AB即所求由A1在底面射影为BC中点知，A1AD，A1BD都是直角三角形，结合各棱长都相等，可解A1AB.答案D解析如图，设各棱长为a，则由题设条件知，ADa，A1DAD，A1Da，又A1DBD，BDa，A1Ba，cosA1AB，故选D.(2)(2010重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等
