1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (四十九 ) 1下面三条直线一定共面的是 ( ) A a， b， c 两两平行 B a， b， c 两两相交 C a b， c 与 a， b 均相交 D a， b， c 两两垂直 答案 C 2 (2014 广东文 )若空间中四条两两不同的直线 l1， l2， l3， l4满足 l1 l2， l2 l3， l3 l4，则下列结论一定正确的是 ( ) A l1 l4 B l1 l4 C l1与 l4既不垂直也不平行 D l1与 l4的位置关系不确定 答案 D 解析 在正六面体中求解 ， 也可以借助教室中的实物帮助求解 在如图所示的正六面 体中 ， 不妨设
2、 l2 为直线 AA1， l3 为直线 CC1， 则直线l1， l4可以是 AB， BC；也可以是 AB， CD；也可以是 AB， B1C1， 这三组直线相交 ， 平行 ， 垂直 ， 异面 ， 故选 D. 3 若 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点 ， 则 ( ) A 过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都平行 B 过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直 C 过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都相交 D 过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都异面 答案 B 解析 对于选项 A， 若过点 P 有直线 n 与 l， m 都平行 ， 则 l m， 这与 l， m 异面矛
3、盾；对于选项 B， 过点 P 与 l， m 都垂 直的直线 ， 即过 P 且与 l， m 的公垂 线段平行的那一条直线；对于选项 C， 过点 P 与 l， m 都相交的直线有一条或零条；对于选项 D， 过点 P 与 l， m 都异面的直线可能有无数条 4 如图所示 ， ABCD A1B1C1D1是长方体 ， O 是 B1D1的中点 ， 直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M， 则下列结论正确是 ( ) A A， M， O 三点共线 B A， M， O， A1不共面 C A， M， C， O 不共面 D B， B1， O， M 共面 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 A 解析 连接 A1
4、C1， AC， 则 A1C1 AC， A1， C1， A， C 四点共面 ， A1C?平面 ACC1A1， M A1C， M 平面 ACC1A1， 又 M 平面 AB1D1， M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 ， 同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线 上 A， M， O 三点共线 5 (2018 江西景德镇模拟 )将图 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的中线折起得到空间四面体 ABCD(如图 ) ， 则在空间四面体 ABCD 中 ， AD 与 BC 的位置关系是 ( ) A相交且垂直 B相交但不垂直 C 异面且垂直 D异面但不垂直 答案 C 解析
5、 在题图 中 ， AD BC， 故在题图 中 ， AD BD， AD DC， 又因为 BDDC D， 所以 AD平面 BCD， 又 BC? 平面 BCD， D 不在 BC 上 ， 所以 ADBC ， 且 AD 与 BC 异面 ， 故选 C. 6 空间不共面的四点到某平面的距离相等 ， 则这样的平面的个数为 ( ) A 1 B 4 C 7 D 8 答案 C 解析 当空间四点不共面时 ， 则四点构成一个三棱锥 ， 如图 当平面一侧有一点 ，另一侧有三点时，令截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有 4 个； 当平面一侧有两点 ， 另一侧有两点时 ， 满足条件的平面有 3 个 ， 所以满足条件的平面
6、共有 7 个 7.(2018 江西上饶 一模 )如图 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， 过点 A 作平面 平行平面 BDC1， 平面 与平面 A1ADD1交于直线 m， 与平面 A1ABB1交于直线 n， 则 m 与 n 所成的角为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案 C 解析 由题意 ， m BC1， n C1D， BC1D 即为 m 与 n 所成的角 BC1D 是等边三角形 ， BC1D 3 ， m 与 n 所成的角为 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 (2017 课标全国 ， 理 )已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 ， ABC 120， AB
7、 2， BC CC1 1， 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 ( ) A. 32 B. 155 C. 105 D. 33 答案 C 解析 如图所示 ， 将直三棱柱 ABC A1B1C1 补成直四棱柱 ABCDA1B1C1D1， 连接 AD1， B1D1， 则 AD1 BC1， 所以 B 1AD1或其补角为异面直线 AB1与 BC1所成的角因 为 ABC 120， AB 2， BC CC1 1，所以 AB1 5， AD1 2.在 B 1D1C1中 ， B1C1D1 60， B1C1 1， D1C1 2， 所以 B1D1 12 22 212 cos60 3， 所以 cos B1AD1
8、5 2 32 5 2 105 ， 选择 C. 9.(2018 内蒙古包 头模拟 )如图 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， 点 P 在线段 AD1上运动 ， 则异 面直线 CP 与 BA1所成的角 的取值范围是 ( ) A (0， 2) B (0， 2 C 0， 3 D (0， 3 答案 D 10 已知在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 ， AA1 2AB， E 为 AA1中点 ， 则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 ( ) A. 1010 B.15 C.3 1010 D.35 答案 C 解析 连接 BA1， 则 CD1 BA1， 于是 A 1BE 就是异面直线 B
9、E 与 CD1所成的角 (或 补角 ) 设 AB 1， 则 BE 2， BA1 5， A1E 1， 在 A 1BE 中 ， cos A1BE 5 2 12 5 2 3 1010 ， 选 C. 11.如图所示 ， 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， 线段 B1D1上有两个动点E， F， 且 EF 12， 则下列结论 中错误的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A AC BE B EF 平面 ABCD C 三棱锥 A BEF 的体积为定值 D AEF 的面积与 BEF 的面积相等 答案 D 解析 由 AC 平面 DBB1D1， 可知 ACBE ， 故 A 正确 由 EFBD
10、 ， EF?平面 ABCD， 知 EF 平面 ABCD， 故 B 正确 A 到平面 BEF 的距离即 A 到平面 DBB1D1的距离为 22 ， 且 S BEF 12BB1 EF定值 ， 故 VA BEF为定值 ， 即 C 正确 12 下列各图是正方体和正四面体 ， P， Q， R， S 分别是所在棱的中点 ， 这四个点不共面的图形是 ( ) 答案 D 解析 在 A 中易证 PSQR ， P， Q， R， S 四点共面 在 C 中易证 PQSR ， P， Q， R， S 四点共面 在 D 中 ， QR? 平面 ABC， PS 面 ABC P 且 P?QR， 直线 PS 与 QR 为异面直线 P
11、， Q， R， S 四点不共面 在 B 中 P， Q， R， S 四点共面 ， 证明如下： 取 BC 中点 N， 可证 PS， NR 交于直线 B1C1上一点 ， P， N， R， S 四点共面 ， 设为 . 可证 PSQN ， P， Q， N， S 四点共面 ， 设为 . ， 都经过 P， N， S 三点 ， 与 重合 ， P， Q， R， S 四点共面 13 (2018 湖南永 州一模 )设三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直 ， BCA 90， BC CA 2， 若该棱柱的所有顶点都在体积为 323 的球面上 ， 则直线 B1C 与直线 AC1所成角的余弦值为 ( ) A 23
12、B.23 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 53 D. 53 答案 B 解析 由已知 ， 若三棱柱的所有顶点都在球面上 ， 则由两个全等的三棱柱构成的长方体的 8个顶点也在球面上 ， 且外接球的直径为长方体的体对角线 ， 由球体的体积可得其 直径为 4，由于长方体底面是边长为 2 的正方形 ， 故侧面的对角线为 2 3.由余弦定理可知 ， 直线 B1C与直线 AC1所成的余弦值为 12 12 822 32 3 23. 14 有下列四个命题： 若 ABC 在平面 外 ， 它的三条边所在 的直线分别交平面于 P， Q， R， 则 P， Q， R 三点共线； 若三条直线 a， b， c 互相平行
13、且分别交直线 l 于 A， B， C 三点 ， 则这四条直线共面； 空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面； 若 a 不平行于平面 ， 且 a?， 则 内的所有直线与 a 异面 其中正确命题的序号是 _ 答案 解析 在 中 ， 因为 P， Q， R 三点既在平面 ABC 上 ， 又在平面 上 ， 所以这三点必在平面 ABC 与平面 的交线上 ， 即 P， Q， R 三点 共线 ，所以 正确 在 中 ， 因为 ab ， 所以 a 与 b 确定一个平面 ， 而 l 上有 A， B 两点在该平面上 ， 所以 l? ， 即 a， b， l 三线共面于 ；同理 a， c， l 三线也共面 ， 不妨
14、设为 ， 而 ， 有两条公共的直线 a， l， 所以 与 重合 ， 即这些直线共面 ， 所以 正确 在 中 ， 不妨设其中有四点共面 ， 则它们最多只能确定 7 个平面 ， 所以 错 在 中 ， 由题设知 ， a 与 相交 ， 设 a P， 如图 ， 在 内过点 P 的直线 l 与 a 共面 ，所以 错 15.如图 ， 正三棱柱 ABC A B C 的底面边长和侧棱长均为 2， D、 E分别为 AA 与 BC 的中点 ， 则 A E 与 BD 所成角的余弦值为 _ 答案 357 解析 取 B B 中点 F， 连接 A F， 则有 A F 綊 BD， FA E 或其补角即为所求 正三棱柱 ABC
15、 A B C 棱长均为 2. A F 5， FE 2， A E 7. cos FA E 357 ， 故 A E 与 BD 所成角余弦值为 357 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 16 如图所示 ， 平面 ABEF 平面 ABCD， 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形 ， BAD FAB 90， BC AD 且 BC 12AD， BE AF 且 BE 12AF， G， H 分别为 FA， FD 的中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？ 答案 (1)略 (2)共面 ， 证明略 解析 (1)证明： G ， H 分别为 FA， FD 的中点 ， GH 綊 12AD.又 BC 綊 12AD， GH 綊 BC. 四边形 BCHG 为平行四边形 (2)C， D， F， E 四点共面理由如下： 由 BE 綊 12AF， G 是 FA 的中点 ， 得 BE 綊 GF. 所以 EF 綊 BG. 由 (1)知 ， BG 綊 CH， 所以 EF 綊 CH.所以 ECFH. 所以 C， D， F， E 四点共面 17.如图所示 ， 在四棱锥 P ABCD 中 ， 底面是边长为 2 的菱形 ， DAB60， 对角线 AC 与 BD 交于点 O， PO 平面 ABCD
