1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 43 圆的方程 基础巩固 1.(2017云南昆明一中模拟 )若点 A,B在圆 O:x2+y2=4上 ,弦 AB的中点为 D(1,1),则直线 AB 的方程是 ( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x-y-2=0 D.x+y-2=0 2.(2017山西临汾模拟 )若圆 C的半径为 1,圆心在第一象限 ,且与直线 4x-3y=0和 x轴都相切 ,则该圆的标准方程是 ( ) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 3.已知三点 A(1,0),B(
2、0, ),C(2, ),则 ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ( ) A. B. C. D. 4.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 5.(2017广东深圳五校联考 )已知直线 l:x+my+4=0,若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点 P,Q关于直线 l对称 ,则 m的值为 ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 6. 如图 ,已知圆 C与 x轴相切于点 T(1,0),与 y轴正半轴交于两点
3、A,B(B在 A的上方 ),且 |AB|=2. (1)圆 C的标准方程为 ; (2)圆 C在点 B处的切线在 x轴上的截距为 . 7.(2017北京东城区调研 )当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0 所表示的圆的面积取最大值时 ,直线y=(k-1)x+2的倾斜角 = . 8.直线 l: =1与 x轴、 y轴分别相交于点 A,B,O为坐标原点 ,则 OAB的内切圆的 方程为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 9.已知圆 C的圆心在 x轴的正半轴上 ,点 M(0, )在圆 C上 ,且圆心到直线 2x-y=0 的距离为 ,则圆 C的方程为 . 10.已知圆 C的圆心在直线 y=-4x 上 ,
4、且与直线 l:x+y-1=0相切于点 P(3,-2),求圆 C的方程 . 11.在平面直角坐标系 xOy中 ,已知圆 P在 x轴上截得线段长为 2 ,在 y轴上截得线段长为 2 . (1)求圆心 P的轨迹方程 ; (2)若点 P到直线 y=x的距离为 ,求圆 P的方程 . 能力提升 12.若直线 l过点 P 且被圆 x2+y2=25 截得的弦长是 8,则直线 l的方程为 ( ) A.3x+4y+15=0 B.x=-3 或 y=- C.x=-3 D.x=-3 或 3x+4y+15=0 13.(2017北京 ,文 12)已知点 P在圆 x2+y2=1上 ,点 A的坐标为 (-2,0),O为原点 ,
5、则 的最大值为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 14.已知 a R,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆 ,则圆心坐标是 ,半径是 . 15.在以 O为原点的平面直角坐标系中 ,点 A(4,-3)为 OAB的直角顶点 ,已知 |AB|=2|OA|,且点 B的纵 坐标大于 0. (1)求 的坐标 ; (2)求圆 x2-6x+y2+2y=0关于直线 OB对称的圆的方程 . 高考预测 16.已知平面区域 恰好被面积最小的圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖 ,则圆 C的方程为 . 参考答案 考点规范练 43 圆的方程 1.D 解析因为直线 OD 的斜率为
6、 kOD=1,所以由垂径定理得直线 AB的斜率为 kAB=-1,所以直线 AB 的方程是 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0,故选 D. 2.A 解析由于圆心在第一象限且圆与 x轴相 切 ,因此设圆心为 (a,1)(a0).又由圆与直线 4x-3y=0相切可得 =1,解得 a=2,故圆的标准方程为 (x-2)2+(y-1)2=1. 3.B 解析由题意知 , ABC 外接圆的圆心是直线 x=1与线段 AB 垂直平分线的交点 P,而线段 AB 垂直平分线的方程为 y- ,它与 x=1联立得圆心 P坐标为 ,则|OP|= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.A 解析设圆上任一点为 Q(x
7、0,y0),PQ的中点为 M(x,y),则 解得 因为点 Q在圆 x2+y2=4 上 , 所以 =4,即 (2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得 (x-2)2+(y+1)2=1. 5.D 解析曲线 x2+y2+2x-6y+1=0是圆 (x+1)2+(y-3)2=9,若圆 (x+1)2+(y-3)2=9上存在两点 P,Q关于直线 l对称 ,则直线 l:x+my+4=0过圆心 (-1,3),所以 -1+3m+4=0,解得 m=-1,故选 D. 6. (1)(x-1)2+(y- )2=2 (2)-1- 解析 (1)由题意可设圆心 C坐标为 (1,b),取 AB中点为 P,连接 CP,CB,则 B
8、PC为直角三角形 ,得|BC|=r= =b,故圆 C的标准方程为 (x-1)2+(y- )2=2. (2)由 (1)得 ,C(1, ),B(0, +1),则 kBC=-1. 圆 C在点 B处的切线方程为 y=x+ +1,令 y=0,得 x=- -1,即切线在 x轴上的截距为-1- . 7. 解析由题意知 ,圆的半径 r= 1 . 当半径 r取最大值时 ,圆的面积最大 ,此时 k=0,r=1,所以直线方程为 y=-x+2,则有 tan= -1,又 0,), 故 = . 8. =【 ;精品教育资源文库 】 = (x-1)2+(y-1)2=1 解析由直线方程 =1与 x轴、 y 轴分别相交于点 A,
9、B,如图 . 设 OAB的内切圆的圆心为 M(m,m). 直线方程 =1 可化简为 3x+4y-12=0,由 点 M 到直线 l 的距离等于 m 得 =m,解得 m=1. 故 OAB的内切圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=1. 9.(x-2)2+y2=9 解析设圆心 C的坐标为 (a,0)(a0),则 ,即 a=2.又点 M(0, )在圆 C上 ,则圆 C的半径 r= =3.故圆 C的方程为 (x-2)2+y2=9. 10.解 (方法一 )如图 ,设圆心 C(x0,-4x0),依题意得 =1,则 x0=1,即圆心 C的坐标为 (1,-4),半径 r=2 ,故圆 C的方程为 (x-1)2+
10、(y+4)2=8. (方法二 )设所求圆 C的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2=r2, 根据已知条件得 解得 因此所求圆 C的方程为 (x-1)2+(y+4)2=8. =【 ;精品教育资源文库 】 = 11.解 (1)设 P(x,y),圆 P的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3. 故 P点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P(x0,y0),由已知得 . 又点 P在双曲线 y2-x2=1上 ,从而得 由 此时 ,圆 P的半径 r= . 由 此时 ,圆 P的半径 r= . 故圆 P的方程为 x2+(y+1)2=3或 x2+(y-1)2=3.
11、 12.D 解析若直线 l的斜率不存在 ,则该直线的方程为 x=-3,代入圆的方程解得 y= 4,故直线 l被圆截得的弦长为 8,满足条件 ;若直线 l的斜率存在 ,不妨设直线 l的方程为 y+ =k(x+3),即 kx-y+3k- =0.因为直线 l被圆截得的弦长为 8,所以半弦长为 4,又圆的半径为 5,则圆心 (0,0)到直线 l的距离为 ,解得 k=- ,此时直线方程为 3x+4y+15=0. 13.6 解析 (方法一 )设 P(cos ,sin ), R,则=(2,0), =(cos+ 2,sin ), =2cos+ 4. 当 = 2k, k Z时 ,2cos+ 4取得最大值 ,最大
12、值为 6. 故 的最大值 为 6. (方法二 )设 P(x,y),x2+y2=1,-1 x1, =(2,0), =(x+2,y), =2x+4,故的最大值为 6. =【 ;精品教育资源文库 】 = 14.(-2,-4) 5 解析由题意 ,可得 a2=a+2,解得 a=-1或 a=2.当 a=-1时 ,方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,即 (x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为 (-2,-4),半径为 5;当 a=2时 ,方程为 4x2+4y2+4x+8y+10=0,即+(y+1)2=- 不表示圆 . 15.解 (1)设 =(x,y),由 |AB|=2|OA|, =0, 得 解得 若
13、=(-6,-8),则 yB=-11 与 yB0矛盾 . 舍去 ,即 =(6,8). (2)圆 x2-6x+y2+2y=0,即 (x-3)2+(y+1)2=( )2,其圆心为 C(3,-1),半径 r= . =(4,-3)+(6,8)=(10,5), 直线 OB的方程为 y= x. 设圆心 C(3,-1)关于直线 y= x的对称点的坐标为 (a,b), 则 解得 故所求的圆的方程为 (x-1)2+(y-3)2=10. 16.(x-2)2+(y-1)2=5 解析由题意知 ,此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部 ,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆 . 因为 OPQ为直角三角形 ,所以圆心为斜边 PQ的中点 (2,1),半径 r= , 所以圆 C的方程为 (x-2)2+(y-1)2=5.
