1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 16 导数的综合应用 基础巩固 1.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 与 x=1处都取得极值 . (1)求 a,b的值及函数 f(x)的单调区间 ; (2)若对于 x -1,2,不等式 f(x)1时 ,g(x)0; (3)确定 a的所有可能取值 ,使得 f(x)g(x)在区间 (1,+ )内恒成立 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 3.已知函数 f(x)=aln x(a0),e为自然对数的底数 . (1)若过点 A(2,f(2)的切线斜率为 2,求实数 a的值 ; (2)当 x0时 ,求证 :f(x) a ; (3)若在区
2、间 (1,e)内 , 1恒成立 ,求实数 a的取值范围 . 4.已知函数 f(x)=sin x-ax,ln 2sin ,ln . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)对于 x (0,1),f(x)0恒成立 ,求实数 a的取值范围 ; (2)当 a=0时 ,h(x)=x(ln x-1)-f(x),证明 h(x)存在唯一极值点 . 能力提升 5.已知函数 f(x)=ax2+bx-c-ln x(x0)在 x=1处取极值 ,其中 a,b为常数 . (1)若 a0,求函数 f(x)的单调区间 ; (2)若函数 f(x)在 x=1处取极值 -1-c,且不等式 f(x) -2c2恒成立 ,求实数 c的取
3、值范围 ; (3)若 a0,比较 ln a与 -2b的大小 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 6.设函数 f(x)=x2+bx-aln x. (1)若 x=2是函数 f(x)的极值点 ,1和 x0是函数 f(x)的两个不同零点 ,且 x0 (n,n+1),n N,求 n. (2)若对任意 b -2,-1,都存在 x (1,e),使得 f(x)0. (1)设 g(x)是 f(x)的导函数 ,讨论 g(x)的单调性 ; (2)证明 :存在 a (0,1),使得 f(x)0 在区间 (1,+ )内恒成立 ,且 f(x)=0在区间 (1,+ )内有唯一解 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 高考
4、预测 8.已知函数 f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数 ). (1)当 a=5时 ,求函数 y=g(x)在 x=1处的切线方程 ; (2)求 f(x)在区间 t,t+2(t0)上的最小值 ; (3)若方程 g(x)=2exf(x)存在两个不等实根 x1,x2,且 x1,x2 ,求实数 a的取值范围 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 参考答案 考点规范练 16 导数的综合应用 1.解 (1) f(x)=x3+ax2+bx+c, f(x)=3x2+2ax+b. 又 f(x)在 x=- 与 x=1处都取得极值 , f a+b=0,f(1)=3+2a+b=0, 两式
5、联立解得 a=- ,b=-2, f(x)=x3- x2-2x+c, f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 令 f(x)=0,得 x1=- ,x2=1, 当 x变化时 ,f(x),f(x)的变化情况如下表 : x - 1 (1,+ ) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 函数 f(x)的单调递增区间为 与 (1,+ ); =【 ;精品教育资源文库 】 = 单调递减区间为 . (2)f(x)=x3- x2-2x+c,x -1,2, 当 x=- 时 ,f +c为极大值 ,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c为最大值 , 要使 f(x)f(2)=2+c,解得 c
6、2. c的取值范围为 (- ,-1) (2,+ ). 2.(1)解 f(x)=2ax- (x0). 当 a0 时 ,f(x)0时 ,由 f(x)=0 有 x= . 当 x 时 ,f(x)0,f(x)单调递 增 . (2)证明令 s(x)=ex-1-x,则 s(x)=ex-1-1. 当 x1时 ,s(x)0,所以 ex-1x, 从而 g(x)= 0. (3)解由 (2),当 x1时 ,g(x)0. 当 a0, x1时 ,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间 (1,+ )内恒成立时 ,必有 a0. 当 01. 由 (1)有 f 0, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以此时 f(x)g
7、(x)在区间 (1,+ )内不恒成立 . 当 a 时 ,令 h(x)=f(x)-g(x)(x1) . 当 x1时 ,h(x)=2ax- -e1-xx- = 0. 因此 ,h(x)在区间 (1,+ )内单调递增 . 又因为 h(1)=0,所以当 x1时 ,h(x)=f(x)-g(x)0,即 f(x)g(x)恒成立 . 综上 ,a . 3.(1)解 f(x)= , f(2)= =2, a=4. (2)证明令 g(x)=a , 则 g(x)=a . 令 g(x)0,得 x1;g(x)1在区间 (1,e)内恒成立 , 即使 -10在区间 (1,e)内恒成立 , 即 0在区间 (1,e)内恒成立 . 令
8、 h(x)=alnx+1-x,则 h(x)= -1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 h(x)0,解得 xe时 ,h(x)在 (1,e)内单调递增 ,所以 h(x)h(1)=0. 当 10,得 sinx-ax0. 0g(1)=sin1, asin1, 故 a的取值范围是 (- ,sin1). (2)证明 h(x)=xlnx-x-cosx, h(x)=lnx+sinx. 当 x 1,e时 ,lnx0,sin x0, h(x)0; 当 x (e,+ )时 ,lnx1,sinx -1, h(x)0; 当 x (0,1)时 ,令 y=lnx+sinx,则 y= +cosx0, y=lnx+sin
9、x在 (0,1)内单调递增 ,由 ln2sin ,ln ,知h =ln +sin 0. 故存在 x0 使得 h(x0)=0, 且当 x (0,x0)时 ,h(x)0. 综 上 ,当 x (0,x0)时 ,h(x)0,h(x)在 (x0,+ )内单调递增 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = h(x)存在唯一极值点 x=x0. 5.解 (1)因为 f(x)=ax2+bx-c-lnx(x0),所以 f(x)=2ax+b- (x0). 因为函数 f(x)在 x=1 处取极值 ,所以 f(1)=2a+b-1=0, 所以 b=1-2a, 所以 f(x)=2ax+1-2a- =(x-1) (x0). 当
10、a0时 , +2a0,则当 x (0,1)时 ,f(x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (1,+ ),单调递减区间为 (0,1. (2)由 (1)知 f(x)=ax2+(1-2a)x-c-lnx. 因为函数 f(x)在 x=1 处取极值 -1-c,所以 f(1)=-a+1-c=-1-c,可得 a=2. 因为 a0,由 (1)可知函数 f(x)在区间 (1,+ )内单调递增 ,在区间 (0,1上单调递减 ,所以f(x)min=f(1)=-1-c. 因为不等式 f(x) -2c2恒成立 , 所以有 -1-c -2c2,解得 c1 或 c - ,所以实数 c的 取值范围是 c1 或 c - . (3)由 (1)知 b=1-2a,故 lna-(-2b)=lna-4a+2. 构造函数 g(a)=lna-4a+2,则 g(a)= -4. 令 g(a)=0,可得 a= . 当 a变化时 ,g(a),g(a)的变化情况如下表 : a g(a) + 0 - g(a) 单调递增 极大值 单调递减 所以 g(a)max=g =ln +1=ln 0,所以 g(a)0恒成立 ,即 lna-2b.
