1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 28 数列的概念与表示 基础巩固 1.数列 1, 的一个通项公式 an=( ) A. B. C. D. 2.若 Sn为数列 an的前 n项和 ,且 Sn=,则等于 ( ) A. B. C. D.30 3.(2017江西上饶模拟 )已知数列 an满足 an+1+an=n,若 a1=2,则 a4-a2=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.若数列 an满足 =d(n N*,d为常数 ),则称数列 an为调和数列 .已知数列为调和数列 ,且x1+x2+ +x20=200,则 x5+x16=( ) A.10 B.20 C.30 D.40 5.已知数列
2、 an满足 an+2=an+1-an,且 a1=2,a2=3,Sn为数列 an的前 n项和 ,则 S2 016的值为 ( ) A.0 B.2 C.5 D.6 6.已知数列 an的前 4项分别是 ,1,则这个数列的一个通项公式是 an= . 7.已知数列 an满足 :a1+3a2+5a3+ +(2n-1) an=(n-1)3 n+1+3(n N*),则数列 an的通项公式an= . 8.已知数列 an的通项公式为 an=(n+2),则当 an取得最大值时 ,n= . 9.若数列 an的通项为 an=(-1)n(2n+1)sin +1,前 n项和为 Sn,则 S100= . 10.已知数列 an的
3、前 n项和为 Sn. (1)若 Sn=(-1)n+1 n,求 a5+a6及 an; (2)若 Sn=3n+2n+1,求 an. 能力提升 11.设数列 an满足 a1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则 a20的值是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.4 B.4 C.4 D.4 12.已知函 数 f(x)是定义在区间 (0,+ )上的单调函数 ,且对任意的正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y).若数列 an的前 n项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n N*),则 an等于 ( ) A.2n-1 B.n C.2
4、n-1 D. 13.已知数列 an的前 n项和为 Sn,Sn=2an-n,则 an= . 14.(2017山西晋中二模 )我们可以利用数列 an的递推公式 an=(n N*),求出这个数列各项的值 ,使得这个数列中的每一项都是奇数 ,则 a64+a65= . 15.设数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a(a3), an+1=Sn+3n,n N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列 bn的通项公式 ; (2)若 an+1 an,求 a的取值范围 . 高考预测 16.已知数列 an的通项公式是 an=-n2+12n-32,其前 n项和是 Sn,则对任意的 nm(其中 m,n N*),
5、Sn-Sm的最大值是 . 答案： 1.B 2.D 解析 :当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1=, =5 (5+1)=30. 3.D 解析 :由 an+1+an=n,得 an+2+an+1=n+1,两式相减得 an+2-an=1,令 n=2,得 a4-a2=1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.B 解析 : 数列为调和数列 , =xn+1-xn=d. xn是等差数列 . 又 x1+x2+ +x20=200=, x1+x20=20. 又 x1+x20=x5+x16, x5+x16=20. 5.A 解析 : an+2=an+1-an,a1=2,a2=3, a3=a2-a1=1,a4=a3-a
6、2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3 . 数 列 an是周期为 6 的周期数列 . 又 2 016=6 336, S2 016=336 (2+3+1-2-3-1)=0,故选 A. 6. 解析 :数列 an的前 4项可分别变形为 ,故 an=. 7.3n 解析 :a1+3a2+5a3+ +(2n-3)a n-1+(2n-1)a n=(n-1) 3n+1+3,把 n换成 n-1,得a1+3a2+5a3+ +(2n-3)a n-1=(n-2) 3n+3,两式相减得 an=3n. 8.5或 6 解析 :由题意令 解得 n=5或 n=6.
7、9.200 解析 :当 n为偶数时 ,sin=0, 即 an=(2n+1)sin+1=1(n为偶数 ). 当 n为奇数时 ,若 n=4k+1,k Z, 则 sin=sin=1,即 an=-2n; 若 n=4k+3,k Z,则 sin=sin=-1, 即 an=2n+2. 故 a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4 =-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8, 因此 S100= 8=200. 10.解 :(1)因为 Sn=(-1)n+1n , 所以 a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2. 当 n=1时 ,a1=S1=1; 当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1=(-1)
8、n+1n -(-1)n (n-1) =(-1)n+1 n+(n-1)=(-1)n+1 (2n-1). 又 a1也适合于此式 ,所以 an=(-1)n+1 (2n-1). (2)当 n=1时 ,a1=S1=6; 当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-3n-1+2(n-1)+1 =2 3n-1+2. 由于 a1不适合 式 ,所以 an= 11.D 解析 :由 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1, 得 nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5. 令 bn=nan,则 数列 bn是公差为 5的等差数列 , 故 bn=1+(n-1) 5=
9、5n-4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 b20=20a20=5 20-4=96, 所以 a20=4. 12.D 解析 :由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n N*), Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2), 两式相减 ,得 2an=3an-1(n2) . 又 n=1时 ,S1+2=3a1=a1+2, a1=1. 数列 an是首项为 1,公比为的等比数列 . an=. 13.2n-1 解析 :当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1), 即 an=2an-1+1 an+1=2(an-1+1). 又 S1=2a1-
10、1, a1=1. 数列 an+1是以 a1+1=2为首项 ,公比为 2的等比数列 , an+1=2 2n-1=2n, an=2n-1. 14.66 解析 :由题得 ,这个数列各项的值分别为 1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3, 故 a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66. 15.解 :(1)因为 an+1=Sn+3n,所以 Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), 即 bn+1=2bn. 又 b1=S1-3=a-3, 故 bn的通项公式为 bn=(a-3)2n-1
11、. (2)由题意可知 ,a2a1对任意的 a都成立 . 由 (1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1. 于是 ,当 n2 时 , an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2 =2 3n-1+(a-3)2n-2, 故 an+1-an=4 3n-1+(a-3)2n-2 =2n-2. 当 n2 时 ,由 an+1 an,可知 12+a-3 0,即 a -9. 又 a3, 故所求的 a的取值范围是 -9,3) (3,+ ). 16.10 解析 :由 an=-n2+12n-32=-(n-4) (n-8)0得 4n8,即在数列 an中 ,前三项以及从第 9项起后的各项均为负且 a4=a8=0,因此 Sn-Sm的最大值是 a5+a6+a7=3+4+3=10.
