1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (二十七 ) 等差数列及其前 n 项和 A 基础巩固练 1等差数列 an中， a1 a5 10， a4 7，则数列 an的公差为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 法一：设等差数列 an的公差为 d， 由题意得? 2a1 4d 10，a1 3d 7. 解得 ? a1 1，d 2. d 2. 法二： 在等差数列 an中， a1 a5 2a3 10， a3 5.又 a4 7， 公差 d 7 5 2. 答案 B 2 (2018 宁夏银川市二模试卷 )在等差数列 an中，已知 a4 5， a3是 a2和 a6的等比中项，则数列 an的前 5 项的
2、和为 ( ) A 15 B 20 C 25 D 15 或 25 解析 在等差数列 an 中， a4 5 ， a3 是 a2 和 a6 的等比中项， ? a1 3d 5a1 2d 2 a1 d a1 5d ， 解得 a1 1， d 2， 数列 an的前 5 项 的和为： S5 5a1 542 d 5( 1) 54 15.故选： A. 答案 A 3 (2018 山师大附中高三三模 )等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a2a5 2a3，且 a4与 2a7的等差中项为 54，则 S5等于 ( ) A 29 B 31 C 33 D 36 解析 法一：设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q，
3、 由题意知? a1qa1q4 2a1q2a1q3 2a1q6 2 54 ，解得 ? q 12a1 16， 所以 S5 a1 q51 q 31，故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 法二 ： 由 a2a5 2a3， 得 a4 2. 又 a4 2a7 52， 所以 a7 14， 所以 q 12，所以 a1 16， 所以 S5 a2 q51 q 31，故选 B. 答案 B 4 (2016 浙江卷 )已知 an是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3， a4， a8成等比数列，则 ( ) A a1d0， dS40 B a1d0， dS40 解析 a3， a4， a8 成等比
4、数列， a24 a3a8， (a1 3d)2 (a1 2d)(a1 7d)，展开整理，得 3a1d 5d2，即 a1d 53d2. d0 ， a1d0， a10 a110 ， a10 a110 ， a11a2? a100a11a12? a18? ， 所以 T18 |a1| |a2| ? |a10| |a11| |a12| ? |a18| a1 a2 ? a10 (a11 a12 ? a18) 2S10 S18 236 12 60. 答案 C 2 (2016 浙江卷 )如图，点列 An， Bn分别在某锐角的两边上，且 |AnAn 1| |An 1An2|， An An 2， n N*， |BnB
5、n 1| |Bn 1Bn 2|， Bn Bn 2， n N*， (P Q 表示点 P 与 Q 不重合 )若dn |AnBn|， Sn为 AnBnBn 1的面积，则 ( ) A Sn是等差数列 B S2n是等差数列 C dn是等差数列 D d2n是等差数列 解析 Sn表示点 An到对面直线的距离 (设为 hn)乘以 |BnBn 1|长度一半，即 Sn 12 hn|BnBn 1|， 由题目中条件可知 |BnBn 1|的长度为定值，那么我们需要知道 hn的关系式， 过 A1作垂直得到初始距离 h1，那么 A1， An和两个垂足构成了直角梯形， 那么 hn h1 |A1An|sin ，其中 为两条线的
6、夹角， 即为定值， 那么 Sn 12(h1 |A1An|sin )|BnBn 1|， Sn 1 12(|h1 A1An 1|sin )|BnBn 1|， 作差后： Sn 1 Sn 12 (|AnAn 1|sin )|BnBn 1|， 都为定值，所以 Sn 1 Sn为定值故选 A. 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 3设等差数列 an、 bn的前 n 项和分别为 Sn、 Tn，若对任意自然数 n 都有 SnTn 2n 34n 3，则 a9b5 b7 a3b8 b4的值为 _ 解析 an， bn为等差数列， a9b5 b7 a3b8 b4 a92b6 a32b6 a9 a32b6 a6b
7、6. S11T11 a1 a11b1 b11 2a62b6 211 3411 3 1941， a6b6 1941. 答案 1941 4 (2018 湖南省常德市一模 )已知数列 an中， a1 0， an 1 an3an 1(n N*)，数列 bn满足： bn nan(n N*)，设 Sn为数列 bn的前 n 项和，当 n 7 时 Sn有最小值，则 a1的取值范围是 _ 解析 数列 an中， a1 0， an 1 an3an 1(n N*)， 1an 1 1an 3， 数列 ? ?1an是等差数列，公差为 3. 1an 1a1 3(n 1)解得 an a11 n a1. bn nan na11
8、 n a1， 设 Sn为数列 bn的前 n 项和 ， 当 n 7 时 Sn有最小值， b7 0， b8 0. 7a11 18a1 0， 8a11 21a1 0， 解得 118k)总成立，则称数列 an是 “ P(k)数列 ” (1)证明：等差数列 an是 “ P(3)数列 ” ； (2)若数列 an既是 “ P(2)数列 ” ，又是 “ P(3)数列 ” ，证明： an是等差数列 =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 (1)因为 an是等差数列，设其公差为 d，则 an a1 (n 1)d，从而，当 n4时， an k an k a1 (n k 1)d a1 (n k 1)d 2a1 2(n
9、 1)d 2an， k 1,2,3， 所以 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an， 因此等差数列 an是 “ P(3)数列 ” (2)数列 an即是 “ P(2)数列 ” ，又是 “ P(3)数列 ” ，因此， 当 n3 时， an 2 an 1 an 1 an 2 4an， 当 n4 时， an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an. 由 知， an 3 an 2 4an 1 (an an 1)， an 2 an 3 4an 1 (an 1 an)， 将 代入 ，得 an 1 an 1 2an，其中 n4 ， 所以 a3， a4， a5，
10、 ? 是等差数列，设其公差为 d. 在 中，取 n 4，则 a2 a3 a5 a6 4a4，所以 a2 a3 d ，在 中，取 n 3，则 a1 a2 a4 a5 4a3，所以 a1 a2 2d ，所以数列 an是等差数列 C 尖子生专练 (2017 北京 )设 an和 bn是两个等差数列，记 cn maxb1 a1n， b2 a2n， ? ， bn ann(n 1,2,3， ?) ，其中 maxx1， x2， ? ， xS表示 x1， x2， ? ， xS这 S 个数中最大的数 (1)若 an n， bn 2n 1，求 c1， c2， c3的值，并证明 cn是等差数列； (2)证明：或者对任
11、意正数 M，存在正整数 m，当 n m 时， cnnM；或者存在正整数 m，使得 cm， cm 1， cm 2， ? 是等差数列 解析 (1)c1 b1 a1 1 1 0. c2 maxb1 2a1， b2 2a2 max1 21,3 22 1， c3 maxb1 3a1， b2 3a2，b3 3a3 max1 31,3 32,5 33 2. 当 n3 时， (bk 1 nak 1) (bk nak) (bk 1 bk) n(ak 1 ak) 2 nnd1时，b1 a1n，当 d2 nd1时， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 d10 时，取正整数 md2d1，则当 n m 时， nd1d2，因此 cn b1 a1n. 此时， cm， cm 1， cm 2， ? 是等差数列 当 a1 0 时，对任意 n1 ， cn b1 a1n (n 1)maxd2,0 b1 a1 (n 1)(maxd2,0 a1) 此时， c1， c2， c3， ? ， cn， ? 是等差数列 当 d1d2d1时，有 nd1max? ?M |b1 d2| a1 d1 d2 d1， d2d1， 故当时， cnnM.
