1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 考纲传真 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 .3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 .4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆 ) (对应学生用书第 48页 ) 基础知识填充 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( ) sin_ cos_ cos _ sin_ ； (2)cos( ) cos_ cos_ ?sin_ sin
2、_ ； (3)tan( ) tan tan 1?tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2 2sin cos ； (2)cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 ； (3)tan 2 2tan 1 tan2 . 知识拓展 1有关公式的变形和逆用 (1)公式 T( )的变形： tan tan tan( )(1 tan tan )； tan tan tan( )(1 tan tan ) (2)公式 C2 的变形： sin2 12(1 cos 2 )； cos2 12(1 cos 2 ) (3)公式的逆用： 1sin 2 (sin cos )2； si
3、n cos 2sin? ? 4 . 2辅助 角公式 asin bcos a2 b2sin( )? ?其中 tan ba . =【 ;精品教育资源文库 】 = 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)存在实数 ， ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ( ) (2)在锐角 ABC 中， sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 ( ) (3)公式 tan( ) tan tan 1 tan tan 可以变形为 tan tan tan( )(1 tan tan )，且对任意角 ， 都成立 ( ) (4)公式 asin
4、x bcos x a2 b2sin(x )中 的取值与 a， b 的值无关 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )sin 20cos 10 cos 160sin 10 ( ) A 32 B 32 C 12 D 12 D sin 20cos 10 cos 160sin 10 sin 20cos 10 cos 20sin 10 sin(20 10) sin 30 12，故选 D 3 (2017 全国卷 )已知 sin cos 43，则 sin 2 ( ) A 79 B 29 C 29 D 79 A sin cos 43， (sin cos )2 1 2sin cos 1
5、sin 2 169 ， sin 2 79. 故选 A 4 (2017 云南二次统一检测 )函数 f(x) 3sin x cos x 的最小值为 _. 【导学号： 00090103】 2 函数 f(x) 2sin? ?x 6 的最小值是 2. 5若锐角 ， 满足 (1 3tan )(1 3tan ) 4，则 _. 3 由 (1 3tan )(1 3tan ) 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = 可得 tan tan 1 tan tan 3， 即 tan( ) 3. 又 (0， )， 3. (对应学生用书第 49 页 ) 三角函数式的化简 (1)化简： sin 2 2cos2sin? ? 4
6、_. (2)化简：2cos4x 2cos2x 122tan? ? 4 x sin2? ? 4 x. (1)2 2cos 原式 2sin cos 2cos222 cos 2 2cos . (2)原式 2sin2xcos2x 122sin? ? 4 x cos2? ? 4 xcos? ? 4 x12 sin22x2sin? ? 4 x cos? ? 4 x12cos22xsin? ? 2 2x 12cos 2x. 规律方法 1.三角函数式的化简要遵循 “ 三看 ” 原则 一看 “ 角 ” ，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 二看 “ 函数名称 ” ，看函数 名称之间的
7、差异，从而确定使用的公式，最常见的是 “ 切化弦 ” 三看 “ 结构特征 ” ，分析结构特征，找到变形的方向 2三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂 变式训练 1 化简 sin2? ? 6 sin2? ? 6 sin2 _. 【导学号： 00090104】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 12 法一：原式1 cos? ?2 32 1 cos? ?2 32 sin2 1 12? ?cos? ?2 3 cos? ?2 3 sin2 1 cos 2 cos 3 sin2 1cos 22 1 cos 22 12. 法二：令 0，则原式 14 14 12. 三角函数式的求
8、值 角度 1 给角求值 (1)2cos 10 sin 20sin 70 ( ) A 12 B 32 C 3 D 2 (2)sin 50(1 3tan 10) _. (1)C (2)1 (1)原式 2cos 30 20 sin 20sin 70 2 cos 30cos 20 sin 30sin 20 sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3. (2)sin 50(1 3tan 10) sin 50 ? ?1 3 sin 10cos 10 sin 50 cos 10 3sin 10cos 10 sin 502? ?12cos 10 32 sin 10cos 10 2sin 50co
9、s 50cos 10 sin 100cos 10 cos 10cos 10 1. 角度 2 给值求值 (1)(2016 全国卷 )若 cos? ? 4 35，则 sin 2 ( ) A 725 B 15 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 15 D 725 (2)(2018 安徽十校联考 )已知 为锐角，且 7sin 2cos 2 ，则 sin? ? 3 ( ) A 1 3 58 B 1 5 38 C 1 3 58 D 1 5 38 (1)D (2)A (1) cos? ? 4 35， sin 2 cos? ? 2 2 cos 2? ? 4 2cos2? ? 4 1 2 925 1 725.
10、 (2)由 7sin 2cos 2 得 7sin 2(1 2sin2 )， 即 4sin2 7sin 2 0， sin 2(舍去 )或 sin 14. 为锐角， cos 154 ， sin? ? 3 14 12 154 32 1 3 58 ，故选 A 角度 3 给值求角 (2018 长春模拟 )已知 sin 55 ， sin( ) 1010 ， ， 均为锐角，则角 等于 ( ) 【导学号： 00090105】 A 512 B 3 C 4 D 6 C ， 均为锐角， 2 2 . 又 sin( ) 1010 ， cos( ) 3 1010 . 又 sin 55 ， cos 2 55 ， sin s
11、in ( ) sin cos( ) cos sin( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 55 3 1010 2 55 ? ? 1010 22 . 4. 规律方法 1.“ 给角求值 ” 中一般所给出的角都是非特殊角，应 仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解 2 “ 给值求值 ” ：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于 “ 变角 ” ，使其角相同或具有某种关系 3 “ 给值求角 ” ：实质是转化为 “ 给值求值 ” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角 三角变换的简单应用 (1)(2017 全国卷 )
12、函数 f(x) 15sin? ?x 3 cos? ?x 6 的最大值为 ( ) A 65 B 1 C 35 D 15 (2)已知函数 f(x) sin2x sin2? ?x 6 ， x R. 求 f(x)的最小正周期； 求 f(x)在区间 ? ? 3 ， 4 上的最大值和最 小值 (1)A 法一： f(x) 15sin? ?x 3 cos? ?x 6 15? ?12sin x 32 cos x 32 cos x 12sin x 110sin x 310cos x 32 cos x 12sin x 35sin x 3 35 cos x 65sin? ?x 3 ， 当 x 6 2k( k Z)时，
13、 f(x)取得最大值 65. 故选 A 法二： ? ?x 3 ? ? 6 x 2 ， f(x) 15sin? ?x 3 cos? ?x 6 =【 ;精品教育资源文库 】 = 15sin? ?x 3 cos? ? 6 x 15sin? ?x 3 sin? ?x 3 65sin? ?x 3 65. f(x)max 65. 故选 A (2) 由已知，有 f(x) 1 cos 2x2 1 cos? ?2x 32 12? ?12cos 2x 32 sin 2x 12cos 2x 34 sin 2x 14cos 2x 12sin? ?2x 6 . 所以 f(x)的最小正周期 T 22 . 因为 f(x)在区间 ? ? 3 ， 6 上是减函数， 在区间 ? ? 6 ， 4 上是增函数， 且 f? ? 3 14， f? ? 6 12， f? ? 4 34 ， 所以 f(x)在区间 ? ? 3 ， 4 上的最大值为 34 ，最小值为 12. 规律方法 1.进行三角恒等变换 要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用 2把形如 y asin x bcos x
