1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 单元评估检测 (七 ) 第 7 章 立体几何 (120 分钟 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的 “ 姿势 ” 穿过 “ 墙 ” 上的三个空洞 (如图 71)，则该几何体为 ( ) 图 71 答案 A 2 (2018 衡阳模拟 )如果一个几何体的三视图如图 72 所示 ，主视图与左视图是
2、边长为 2的正三角形，俯视图轮廓为正方形 (单位： cm)，则此几何体的侧面积是 ( ) 【导学号： 79140426】 A 2 3 cm2 B 4 3 cm2 C 8 cm2 D 14 cm2 答案 C 图 72 图 73 3若三棱锥的三视图如图 73 所示，则该三棱锥的体积为 ( ) A 80 B 40 C.803 D.403 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 (2017 泉州模拟 )设 ， 是两个不同的平 面， l， m 是两条不同的直线，以下命题正确的是 ( ) A若 l ， ，则 l B若 l ， ，则 l C若 l ， ，则 l D若 l ， ，则 l 答案 D 5正
3、四面体 PABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 ( ) A BC 平面 PDF B平面 PDF 平面 ABC C DF 平面 PAE D平面 PAE 平面 ABC 答案 B 6在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB 2， AA1 1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为 ( ) A. 34 B. 32 C.3 34 D. 3 答案 B 7如图 74，四面体 ABCD 中， AB DC 1， BD 2， AD BC 3，二面角 ABDC 的平面角的大小为 60 ， E， F 分别是 BC， AD 的中点，则异面直线 EF 与 AC 所成
4、的角的余弦值是 ( ) 图 74 A.13 B. 33 C. 63 D.2 23 答案 B 8如图 75，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是 ( ) 图 75 A直线 BD1与直线 B1C 所成的角为 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = B直线 B1C 与直线 A1C1所成的角为 3 C线段 BD1在平面 AB1C 内的射影是一个点 D线段 BD1恰被平面 AB1C 平分 答案 D 9如图 76，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 PAD 底面 ABCD， M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP MC
5、，则点 M 的正方形ABCD 内的轨迹的长度为 ( ) 图 76 A. 5 B 2 2 C D.23 答案 A 10棱长为 4 3的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为 ( ) 【导学号： 79140427】 A. 2 B. 22 C. 24 D. 26 答案 B 11 (2017 南阳模拟 )如图 77 是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( ) 图 77 A 6 23 B 8 3 C 4 23 D 4 3 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 12下列命题中错误的是 ( ) A如果 ，那么 内
6、一定有直线平行于平面 B如果 ，那么 内所有直线都垂直于平面 C如果平面 不垂直平面 ，那么 内一定不存在直线垂直于平面 D 如果 ， ， l，那么 l 答案 B 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上 ) 13半径为3 36 的球的体积与一个长、宽分别为 6,4 的长方体的体积相等，则长方体的表面积为 _ 答案 88 14 (2017 运城模拟 )如图 78，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V1，四棱锥 ABCC1B1的体积为V2，则 V1V2 _. 图 78 答案 32 15如图 79，矩形 ABCD 中， AB 2AD， E 为 AB
7、 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确的是 _ (填序号 ) 图 79 BM 是定值； 点 M 在某个球面上运动； 存在某个位置，使 DE A1C； 存在某个位置，使 MB 平面 A1DE. 答案 16已知向量 a (0， 1,1)， b (4,1,0)， | a b| 29且 0，则 _. 【导学号： 79140428】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 3 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 10 分 )(201
8、8 南昌模拟 )如图 710 所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为 2 m，高为 7 m，则制造这个塔顶需要多少面积的铁板？ 图 710 解 制造这个塔顶需要 8 2 m2的铁板 18 (本小题满分 12 分 )(2017 长沙模拟 )如图 711，在三棱锥 PABC 中， PAB PAC ACB 90. 图 711 (1)求证：平面 PBC 平面 PAC； (2)若 PA 1， AB 2， BC 2，在直线 AC 上是否存在一点 D，使得直线 BD 与平面PBC 所成角为 30 ？若存在，求出 CD 的长；若不存在，说明理由 解 (1
9、)略 (2)存在， CD 6. 19 (本小题满分 12 分 )如图 712，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1 底面 ABC， CA CB，D， E， F 分别为 AB， A1D， A1C 的中点，点 G 在 AA1上，且 A1D EG. 图 712 (1)求证： CD 平面 EFG； (2)求证： A1D 平面 EFG. 解 略 20 (本小题满分 12 分 ) (2017 江西五市三联 )如图 713，在四棱锥 PABCD 中， AD BC，=【 ;精品教育资源文库 】 = AB AD， AB AD AP 2BC 2， M 是棱 PD 上的一点， PMPD (0 1) 图
10、 713 (1)若 13，求证： PB 平面 MAC； (2)若平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD，二面角 DACM 的余弦值为 4 2121 ，求 的值 解 (1)略 (2)23. 21 (本小题满分 12 分 )(2017 新乡模拟 )如图 714(1)，在三角形 PCD 中， AB 为其中位线，且 2BD PC，若沿 AB 将三角形 PAB 折起，使 PAD ，构成四棱锥 PABCD，且 PCPF CDCE 2，如图 714(2) 图 714 (1)求证：平面 BEF 平面 PAB； (2)当异面直线 BF 与 PA 所成的角为 60 时，求折起的角度 . 【导学
11、号： 79140429】 解 (1)因为 2BD PC，所以 PDC 90 ， 因为 AB CD，且 PCPF CDCE 2，所以 E 为 CD 的中点， F 为 PC 的中点， CD 2AB，所以 AB DE且 AB DE，所以四边形 ABED 为平行四边形，所以 BE AD， BE AD， 因为 BA PA， BA AD，且 PA AD A，所以 BA 平面 PAD， 因为 AB CD，所以 CD 平面 PAD，又因为 PD 平面 PAD， AD 平面 PAD， 所以 CD PD 且 CD AD，又因为在平面 PCD 中， EF PD(三角形的中位线 )，于是 CD FE. 因为在平面 A
12、BCD 中 ， BE AD， 于是 CD BE， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 FE BE E， FE 平面 BEF， BE 平面 BEF，所以 CD 平面 BEF， 又因为 CD AB， AB 在平面 PAB 内，所以平面 BEF 平面 PAB. (2)因为 PAD ，取 PD 的中点 G，连接 FG， AG，所以 FG CD， FG 12CD，又 AB CD，AB 12CD， 所以 FG AB， FG AB，从而四边形 ABFG 为平行四边形，所以 BF AG，所以 BF 与 PA所成的角即为 AG 与 PA 所成的角，即 PAG 60 ，因为 PA AD， G 为 PD 中点，
13、所以 AG PD， APG 30 ，所以 PDA 30 ，所以 PAD 180 30 30 120. 故折起的角度为120. 22 (本小题满分 12 分 )(2018 周口模拟 )如图 715，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直， AD CD， AB CD， AB AD 12CD 2，点 M 在线段 EC 上且不与 E， C 重合 图 715 (1)当点 M 是 EC 中点时，求证： BM 平面 ADEF； (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 66 时，求 三棱锥 MBDE 的体积 解 (1)取 ED 的中点 N， 连接 MN， AN， 又因为点
14、M 是 EC 的中点， 所以 MN DC， MN 12DC， =【 ;精品教育资源文库 】 = 而 AB DC， AB 12DC， 所以 MN AB， 所以四边形 ABMN 是平行四边形， 所以 BM AN， 而 BM? 平面 ADEF， AN 平面 ADEF， 所以 BM 平面 ADEF. (2)取 CD 的中点 O，过点 O 作 OP DM，连接 BP， BO， 因为 AB CD， AB 12CD 2， 所以四边形 ABOD 是平行四边形， 因为 AD DC， 所以四边形 ABOD 是矩形， 所以 BO CD， 因为正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直， ED AD， 所以
15、 ED 平面 ADCB， 所以平面 CDE 平面 ADCB， 所以 BO 平面 CDE，所以 BP DM， 所以 OPB 是平面 BDM 与平面 DCE(即平面 ABF)所成锐二面角， 因为 cos OPB 66 ，所以 sin OPB 306 ， 所以 OBBP 306 ，解得 BP 2 305 . 所以 OP BPcos OPB 2 55 ，所以 sin MDC OPOD 55 ， 而 sin ECD 22 5 55 ， 所以 MDC ECD， 所以 DM MC，同理 DM EM，所以 M 为 EC 的中点， 所以 S DEM 12S CDE 2， 因为 AD CD， AD DE， 且 DE 与 CD 相交于点 D， 所以 AD 平面 CDE，因为 AB CD， 所以三棱锥 BDME 的
