1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 67 抛物线（一） 1 抛物线 x2 12y 的焦点到准线的距离是 ( ) A 2 B 1 C.12 D.14 答案 D 解析 抛物线标准方程 x2 2py(p0)中 p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离 ， 又 p 14， 故选 D. 2 过点 P( 2， 3)的抛物线的标准方程是 ( ) A y2 92x 或 x2 43y B y2 92x 或 x2 43y C y2 92x 或 x2 43y D y2 92x 或 x2 43y 答案 A 解析 设抛物线的标准方程为 y2 kx 或 x2 my， 代入点 P( 2， 3)， 解得 k 92，
2、 m 43， y2 92x 或 x2 43y， 选 A. 3 若抛物线 y ax2的焦点坐标是 (0， 1)， 则 a ( ) A 1 B.12 C 2 D.14 答案 D 解析 因为抛物线的标准方程为 x2 1ay， 所以其焦点坐标为 (0， 14a)， 则有 14a 1， a 14， 故选 D. 4 若抛物线 y2 2px 上一点 P(2， y0)到其准线的距离为 4， 则抛物线的标准方程为 ( ) A y2 4x B y2 6x C y2 8x D y2 10x 答案 C 解析 抛物线 y2 2px， 准线为 x p2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 点 P(2， y0)到其准线 的
3、距离为 4， | p2 2| 4. p 4， 抛物线的标准方程为 y2 8x. 5 已知点 A( 2， 3)在抛物线 C： y2 2px 的准线上 ， 记 C 的焦点为 F， 则直线 AF 的斜率为( ) A 43 B 1 C 34 D 12 答案 C 解析 因为点 A 在抛物线的准线上 ， 所以 p2 2， 所以该抛物线的焦点 F(2， 0)， 所以 kAF 3 0 2 2 34. 6 (2018 衡水中学调研卷 )若抛物线 y2 2px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6， 则抛物线的方程为 ( ) A y2 4x B y2 36x C y2 4x 或 y2 36
4、x D y2 8x 或 y2 32x 答案 C 解析 因为抛物线 y2 2px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为 6，所以若设该点为 P，则 P(x0， 6)因为 P 到抛物线的焦点 F(p2， 0)的距离为 10， 所以由抛物线的定义得 x0 p210 . 因为 P 在抛物线上 ， 所以 36 2px0 . 由 解得 p 2， x0 9 或 p 18， x0 1，则抛物线的方程为 y2 4x 或 y2 36x. 7 (2016 课标全国 ) 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点 ， 交 C 的准线于 D，E 两点已知 |AB| 4 2， |DE| 2 5， 则 C 的
5、焦点到准线的距离为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解析 由题意 ， 不妨设抛物线方程为 y2 2px(p0)， 由 |AB| 4 2， |DE| 2 5， 可取 A(4p，2 2)， D( p2， 5)，设 O 为坐标原点 ， 由 |OA| |OD|， 得 16p2 8 p24 5， 得 p 4， 所以选B. 8 (2018 吉林长春调研测试 )已知直线 l1： 4x 3y 6 0 和直线 l2： x 1， 抛物线 y2 4x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.3 55 B 2 C.115 D 3 答案
6、 B 解析 由题可知 l2： x 1 是抛物线 y2 4x 的准线 ， 设抛物线的焦点为 F(1， 0)， 则动点 P到 l2的距离等于 |PF|， 则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值 ， 即焦点 F 到直线l1： 4x 3y 6 0 的距离 ， 所以最小值是 |4 0 6|5 2， 故选 B. 9 点 A 是抛物线 C1： y2 2px(p0)与双 曲线 C2： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线的交点 ，若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p， 则双曲线 C2的离心率等于 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案 C 解析 求抛物线 C1：
7、 y2 2px(p0)与双曲线 C2： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线的交点为?y2 2px，y bax， 解得 ?x 2pa2b2 ，y 2pab ，所以 2pa2b2 p2， c2 5a2， e 5， 故选 C. 10 (2013 课标全国 ， 理 )设抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F， 点 M 在 C 上 ， |MF| 5，若以 MF 为直径的圆过点 (0， 2)， 则 C 的方程为 ( ) A y2 4x 或 y2 8x B y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16x D y2 2x 或 y2 16x 答案 C 解析 方法一：设点 M
8、的坐标为 (x0， y0)， 由抛物线的定义 ， 得 |MF| x0 p2 5， 则 x0 5p2. 又点 F 的坐 标为 (p2， 0)， 所以以 MF 为直径的圆的方程为 (x x0)(x p2) (y y0)y 0. 将 x 0， y 2 代入得 px0 8 4y0 0， 即 y022 4y0 8 0， 所以 y0 4. 由 y02 2px0， 得 16 2p(5 p2)， 解之得 p 2 或 p 8. 所以 C 的方程为 y2 4x 或 y2 16x.故选 C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法二：由已知得抛物线的焦点 F(p2， 0)， 设点 A(0， 2)， 抛物线上点 M(
9、x0， y0)， 则 AF (p2， 2)， AM (y022p， y0 2) 由已知得 ， AF AM 0， 即 y02 8y0 16 0， 因而 y0 4， M(8p， 4) 由抛物线定义可知： |MF| 8p p2 5. 又 p0， 解得 p 2 或 p 8， 故选 C. 11 (2018 合肥质检 )已知抛物线 y2 2px(p0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p， 则直线MF 的斜率为 ( ) A 3 B 1 C 34 D 33 答案 A 解析 设 M(xM， yM)， 由抛物线定义可得 |MF| xM p2 2p， 解得 xM 3p2 ， 代入抛物线方程可得 yM 3p，
10、则直线 MF 的斜率为 yMxM p2 3pp 3， 选项 A 正 确 12 (2018 太原一模 )已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F， ABC 的顶点都在抛物线上 ，且满足 FA FB FC 0， 则 1kAB 1kBC 1kCA ( ) A 0 B 1 C 2 D 2p 答案 A 解析 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， F(p2， 0)， 则 (x1 p2， y1) (x2 p2， y2) (x3 p2， y3) (0， 0)， 故 y1 y2 y3 0. 1kAB x2 x1y2 y112p（ y22 y12）y2 y1 y2 y12p
11、， 同理可知1kBCy3 y22p ，1kCAy3 y12p ， 1kAB1kBC1kCA2（ y1 y2 y3）2p 0. 13 (2018 河南新乡第一次调研 )经过抛物线 y2 8x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为 _ 答案 3 解析 圆心是 x 1 与抛物线的交点 r 1 2 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 14 (2018 福建闽侯三中期中 )已知抛物线 x2 4y 的焦点为 F， 准线为 l， P 为抛物线上一点 ， 过 P 作 PAl 于点 A， 当 AFO 30 (O 为坐标原点 )时 ， |PF| _ 答案 43 解析 设 l 与 y 轴的交点为 B， 在 R
12、t ABF 中 ， AFB 30， |BF| 2，所以 |AB| 2 33 .设 P(x0， y0)， 则 x0 2 33 ， 代入 x2 4y 中 ， 得 y0 13， 从而 |PF| |PA| y0 1 43. 15 已知定点 Q(2， 1)， F 为抛物线 y2 4x 的焦点 ， 动点 P 为抛物线上任意一点 ， 当 |PQ| |PF|取最小值时 ， P 的坐标为 _ 答案 (14， 1) 解析 设点 P在准线上的射影为 D， 则根据抛物线的定义可知 |PF| |PD|， 要使 |PQ| |PF|取得最小值 ， 即 D， P， Q 三点共线时 |PQ| |PF|最小将 Q(2， 1)的纵
13、坐标代入 y2 4x得 x 14， 故 P 的坐标为 (14， 1) 16.右图是抛物线形拱桥 ， 当水面在 l 时 ， 拱顶离水面 2 米 ， 水面宽 4米水位下降 1 米后，水面宽 _米 答案 2 6 解析 建立如图所示的平面直角坐标系 ， 设抛物线的方程为 x2 2py(p0)， 由点 (2， 2)在抛物线上 ， 可得 p 1， 则抛物线方程为 x2 2y. 当 y 3 时 ， x 6， 所以水面宽为 2 6 米 17 抛物线 y2 2px(p0)有一个内接直角三角形 ， 直角顶点是原点 ， 一条直角边所在直线方程为 y 2x， 斜边长为 5 13， 求此抛物线方程 答案 y2 4x 解
14、析 设抛物线 y2 2px(p0)的内接直角三角形为 AOB， 直角边 OA 所在直线方程为 y 2x，另一直角边所在直线方程为 y 12x. 解方程组?y 2x，y2 2px， 可得点 A 的坐标为 ?p2， p ； 解方程组?y 12x，y2 2px，可得点 B 的坐标为 (8p， 4p) |OA|2 |OB|2 |AB|2， 且 |AB| 5 13， =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ?p24 p2 (64p2 16p2) 325. p 2， 所求的抛物线方 程为 y2 4x. 18 (2018 上海春季高考题 )利用 “ 平行于圆锥母线的平面截圆锥面 ， 所得截线是抛物线 ”的几何
15、原理 ， 某快餐店用两个射灯 (射出的光锥为圆锥 )在广告牌上投影出其标识 ， 如图 1所示 ， 图 2 是投影射出的抛物线的平面图 ， 图 3 是一个射灯投影的直观图 ， 在图 2 与图 3中 ， 点 O、 A、 B 在抛物线上 ， OC 是抛物线的对称轴 ， OC AB 于 C， AB 3 米 ， OC 4.5 米 (1)求抛物线的焦点到准 线的距离； (2)在图 3 中 ， 已知 OC 平行于圆锥的母线 SD， AB、 DE 是圆锥底面的直径 ， 求圆锥的母线与轴的夹角的大小 (精确 到 0.01 ) 答案 (1)14 (2)9.59 解析 (1)如图 ， 以 O 为坐标原点 ， OC 所在直线为 y 轴 ， 建系 B(1.5， 4.5) 设抛物线方程为 x2 2py. 点 B(1.5， 4.5)在抛物线上 p 14. 焦点到 准线距离为 14. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)如图 ， C 为 DE 中点 ， OC SD， O 为 SE 中点 SC DE， OC 4.5， SE 2OC 9. DE AB 3， CE 1.5. sin CSE CESE 1.59 0.167. SCE 9.59 . 圆锥的母线与轴的夹角约为 9.59 . 1 抛物线 y 4x2关于直线 x y 0 对称的抛物线的准线方程是 ( ) A y 1 B y
