1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 68 抛物线（二） 1 (2018 广东中山第一 次统测 )过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2，y2)两点如果 x1 x2 6， 那么 |AB| ( ) A 6 B 8 C 9 D 10 答案 B 解析 |AB| |AF| |BF| x1 x2 p 8.故选 B. 2 若抛物线 y 4x2上一点到直线 y 4x 5 的距离最短 ， 则该点的坐标是 ( ) A (12， 1) B (0， 0) C (1， 2) D (1， 4) 答案 A 解 析 设与直线 y 4x 5 平行的直线为 y 4x m， 由平面几何
2、的性质可知 ， 抛物线 y 4x2上到直线 y 4x 5 的距离最短的点即为直线 y 4x m 与抛物线相切的点而对 y 4x2求导得 y 8x， 又直线 y 4x m 的斜率为 4， 所以 8x 4， 得 x 12， 此时 y 4( 12)2 1，即切点为 (12， 1)， 故选 A. 3 (2017 北京东城期末 )过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点 ， 点O 是原点 ， 如果 |BF| 3， |BF|AF|， BFO 23 ， 那么 |AF|的值为 ( ) A 1 B.32 C 3 D 6 答案 A 解析 由已知直线的斜率为 k 3， 则方程为 y
3、 3(x p2)， 联立方程?y 3（ x p2） ，y2 2px，得3x2 5px 3p24 0， 即 (2x 3p)(6x p) 0. 因为 |BF|AF|， 所以 xB 32p， xA p6， 依题意 xB p2 2p 3， 所以 p 32， 则 |AF| xA p2 23p 1.故选 A. 4 (2018 广东汕头第三次质检 )已知抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F， 与直线 y 2x 4 交于A， B 两点 ， 则 cos AFB ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.45 B.35 C 35 D 45 答案 D 解析 抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F， 点 F 的
4、坐标为 (1， 0)又 直线 y 2x 4 与 C交于 A， B 两点 ， A， B 两点坐标分别为 (1， 2)， (4， 4)， 则 FA (0， 2)， FB (3， 4)， cos AFB FA FB|FA |FB | 810 45.故选 D. 5 (2018 河南 四校联考 )设 O 为坐标原点 ， P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 2px(p0)上任意一点 ， M 是线段 PF 上的点 ， 且 |PM| 2|MF|， 则直线 OM 的斜率的最大值为 ( ) A. 33 B.23 C. 22 D 1 答案 C 解析 由题意可得 F(p2， 0)设 P(y022p， y0)， 当 y
5、00 时 ， kOM0. 要求 kOM的最大值 ， y00. OM OF FM OF 13FP OF 13(OP OF ) 13OP 23OF (y026pp3，y03)， kOMy03y026pp3 2y0p2py0 22 y0p 2py0 22 ， 当且仅当 y02 2p2， 即 y0 2p 时取得等号故选C. 6 (2018 广西玉林期末 )从抛物线 y2 4x 的准线 l 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA， PB，A， B 为 切点若直线 AB 的倾斜角为 3 ， 则 P 点的纵坐标为 ( ) A. 33 B.2 33 C.4 33 D 2 3 答案 B 解析 设 A(x1， y1
6、)， B(x2， y2)， P( 1， y)， 则 kAB y1 y2x1 x2 4y1 y2. 直线 AB 的倾斜角为 3 ， 4y1 y2 3， y1 y2 4 33 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 切线 PA 的方程为 y y1 2y1(x x1)， 切线 PB 的方程 为 y y2 2y2(x x2)， 即切线 PA 的方程为 y 2y1x 12y1， 切线 PB 的方程为 y 2y2x 12y2. y1， y2是方程 t2 2yt 4x 0 两个根 ， y1 y2 2y 4 33 . y 2 33 .故选 B. 7 (2018 石家庄市高 三检测 )已知圆 C1： x2 (y
7、2)2 4， 抛物线 C2： y2 2px(p0)， C1与C2相交于 A， B 两点 ， 且 |AB| 8 55 ， 则抛物线 C2的方程为 ( ) A y2 85x B y2 165x C y2 325x D y2 645x 答案 C 解析 由题意 ， 知直线 AB 必过原点 ， 则设 AB 的方程为 y kx(k0)， 圆心 C1(0， 2)到直线AB的距离 d 2k2 1 22（ 4 55 ） 2 2 55 ， 解得 k 2.由?y 2x，x2（ y 2） 2 4， 可取 A(0，0)， B(85， 165)， 把 (85， 165 )代入抛物线方程 ， 得 (165 )2 2p 85
8、， 解得 p 165 ， 所以抛物线 C2的方程为 y2 325x， 故选 C. 8 直线 l 与抛物线 C： y2 2x 交于 A， B 两点 ， O 为坐标原点 ， 若直线 OA， OB 的斜率 k1， k2满足 k1k2 23， 则 直线 l 过定点 ( ) A ( 3， 0) B (0， 3) C (3， 0) D (0， 3) 答案 A 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 因为 k1k2 23， 所以 y1x1 y2x2 23.又 y12 2x1， y22 2x2， 所以y1y2 6.将直线 l： x my b 代入抛物线 C： y2 2x 得 y2 2my 2b
9、0， 所以 y1y2 2b 6，所以 b 3， 即直线 l： x my 3， 所以直线 l 过定点 ( 3， 0) 9.(2017 湖南益阳模拟 )如图所示 ， 已知直线 l： y k(x 1)(k0)与抛物线 C： y2 4x 相交于 A， B 两点 ， 且 A， B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M， N， 若 |AM| 2|BN|， 则 k 的值是 ( ) A.13 B. 23 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.2 23 D 2 2 答案 C 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立方程组?y2 4x，y k（ x 1） ， 消去 x， 得 ky2 4y 4
10、k 0. 因为直线与抛物线相交 ， 所以有 42 4k4k 16(1 k2)0.(*) y1， y2是方程 的两个根 ， 所以有?y1 y24k，y1 y2 4. 又因为 |AM| 2|BN|， 所以 y1 2y2. 解 由 组成的方程组 ， 得 k 2 23 . 把 k 2 23 代入 (*)式检验 ， 不等式成立所以 k 2 23 ， 故选 C. 10 (2017 威海一模 )过抛物线 C： y2 2px(p0)上一定点 P(x0， y0)(y00)作两条斜率均存在的直线 ， 分别交抛物线 C 于 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 若直线 PA， PB 关于直线 x x0对称 ，
11、则 log2|y1 y2| log2y0的值为 ( ) A 1 B 1 C 12 D 无法确定 答案 A 解析 设直线 PA的斜率为 kPA， 直线 PB 的斜率为 kPB.由 y12 2px1， y02 2px0相减得 (y1 y0)(y1 y0) 2p(x1 x0)， 故 kPA y1 y0x1 x0 2py1 y0(x1 x0)同理可得 kPB 2py2 y0(x2x 0)若直线PA， PB 关于直线 x x0对称 ， 则 PA， PB 的倾斜角互补故 kPA kPB， 即 2py1 y0 2py2 y0.所以 y1 y2 2y0， 故 y1 y2y0 2， 故 log2|y1 y2|
12、log2y0 1.故选 A. 11 (2018 东城区期末 )已知抛物线 C1： y 12px2(p0)的焦点与双曲线 C2： x23 y2 1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M， 若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线 ， 则 p( ) A. 316 B. 38 C.2 33 D.4 33 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 由题可知 ， 抛物线开口向上且焦点坐标为 (0， p2)， 双曲线焦点坐标为 (2， 0)， 所以两个焦点连线的直线方程为 y p4(x 2)设 M(x0， y0)， 则有 y 1px0 33 ?x0 33 p.因为y0 12px02，
13、 所以 y0 p6.又 M 点在抛物线的切线上 ， 即有 p6 p4( 33 p 2)?p 4 33 ， 故选 D. 12 (2017 浙江杭州七校模拟质量检测 )抛物线 y2 4x 的焦点为 F， 过点 (0， 3)的直线与抛物线交于 A， B 两点 ， 线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 D， 若 |AF| |BF| 6， 则点 D 的坐标为 _ 答案 (4， 0) 解析 设直线 AB 的方程为 y kx 3， 代入抛物线 y2 4x， 整理得 k2x2 (6k 4)x 9 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 6k 4k2 ， 由 |AF| |BF|
14、6， 得 (x1 p2) (x2 p2) x1 x2 p 6k 4k2 2 6， 解得 k 2， k 12(舍去 )， 所以线段 AB 的中点为 (2， 1)， 线段 AB 的垂直平分线方程为 y 1 12(x 2)， 令 y 0， 得x 4.故点 D 的坐标为 (4， 0) 13 (2018 郑州质检 )设抛物线 y2 16x 的焦点为 F， 经 过点 P(1， 0)的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点 ， 且 2BP PA ， 则 |AF| 2|BF| _ 答案 15 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) P(1 ， 0)， BP (1 x2， y2)， PA (x1 1
15、， y1) 2BP PA ， 2(1 x2， y2) (x1 1， y1)， x1 2x2 3， 2y2 y1. 将 A(x1， y1)， B(x2， y2)代入抛物 线方程 y2 16x， 得 y12 16x1， y22 16x2. 又 2y2 y1， 4x2 x1.又 x 1 2x2 3， 解得 x2 12， x1 2. |AF| 2|BF| x1 4 2(x2 4) 2 4 2( 12 4) 15. 14 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2 2px(p0)， O 为抛物线的顶点 ， OA OB， AOB=【 ;精品教育资源文库 】 = 的面积是 16， 抛物线的焦点为 F.若 M
16、 是抛物线上的动点 ， 则 |OM|MF|的最大值为 _ 答案 2 33 解析 设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y12 2px1， y22 2px2.由 |OA| |OB|， 得 x12 y12 x22 y22， x12 x22 2px1 2px2 0， 即 (x1 x2)(x1 x2 2p) 0. x10， x20， 2p0， x1 x2， 即点 A， B 关于 x 轴对称 设直线 OA 的方程为 y x， 与抛物线方程联立 ， 解得?x 0，y 0， 或 ?x 2，y 2p， |AB| 4p， S OAB 12 2p 4p 4p2. AOB 的面积为 16， p 2. 焦点 F(1， 0) 设 M(m， n)， 则 n2 4m， m0， 设点 M 到准线 x 1 的距离等于 d， 则 |OM|MF| |OM|d m2 4mm 1 . 令 m 1 t， t1， 则 m t 1， |OM|MF| 3（ 1t 13） 2
