1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 归纳与类比 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用 .2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异 (对应学生用书第 99 页 ) 基础知识填充 1归纳推理 根据一类事物中 部分事物 具有某种属性，推断该类事物中 每一个 都有这种属性我们将这种推理方式称为归纳推理 2类比推理 由于两类不同对象具有 某些类似的特征 ，在此基础上，根据 一类对象 的其他特征，推断另一类对象 也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为 类比推理 3归纳推理和类比推理是最常见的合情推理
2、，合情推理的结果 不一定正确 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理 ( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 ( ) (3)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 ( ) (4)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知数列 an中， a1 1， n2 时， an an 1 2n 1，依次计算 a2， a3， a4后，猜想 an的表达式是 ( ) A an
3、3n 1 B an 4n 3 C an n2 D an 3n 1 C a1 1， a2 4， a3 9， a4 16，猜想 an n2. 3数列 2,5,11,20， x,47， ? 中的 x 等于 ( ) A 28 B 32 C 33 D 27 B 5 2 3,11 5 6,20 11 9，推出 x 20 12，所以 x 32. 4在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12 ，则它们的面积比为 14. 类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12 ，则它们的体积比为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 18 这两个正四面体的体积比为 V1V2 ? ?13S1h1 ? ?13S2h2
4、S1S2 h1h2 18. 5观察下列不等式 1 122 32， 1 122 132 53， 1 122 132 142 74， ? 照此规律， 第五个 不等式为 _ 1 122 132 142 152 162 116 先观察左边，第一个不等式为 2 项相加，第二个不等式为 3 项相加，第三个不等式为 4 项相 加，则第五个不等式应为 6 项相加，右边分子为分母的 2 倍减 1，分母即为所对应项数，故应填 1 122 132 142 152 162116. (对应学生用书第 100 页 ) 归纳推理 角度 1 与数字有关的推理 (2018 兰州实战模拟 )观察下列式子： 1,1 2 1,1 2
5、 3 2 1,1 2 3 4 3 2 1， ? ，由以上可推测出一个一般性结论：对于 n N ，则 1 2 ? n ? 2 1 _. n2 因为 1 1 12,1 2 1 4 22,1 2 3 2 1 9 32,1 2 3 4 3 2 1 16 42， ? ，由此可得 1 2 ? n ? 2 1 n2. 角度 2 与式子有关的推理 已知 f(x) x1 x， x0 ，若 f1(x) f(x)， fn 1(x) f(fn(x)， n N ，则 f2 019(x)的表达式为 _. 【导学号： 79140205】 =【 ;精品教育资源文库 】 = f2 019(x) x1 2 019x f1(x)
6、x1 x， f2(x)x1 x1 x1 x x1 2x， f3(x)x1 2x1 x1 2xx1 3x， ? ， fn 1(x) f(fn(x)x1 nx， 归纳可得 f2 019(x) x1 2 019x. 角度 3 与图形有关的推理 如图 641 的图形由小正方形组成，请观察图 (1)至图 (4)的规律，并依此规律，写出第 n 个 图形中小正方形的个数是 _ 图 641 n(n 1)2 (n N ) 由题图知第 n 个图形的小正方形个数为 1 2 3 ? n.所以总个数为 n(n 1)2 (n N ) 规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略 与数字有关的等式的推理 .观察数字特点，找出
7、等式左右两侧的规律及符号可解 . 与式子有关的推理 .观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解 . 与图形变化有关的推理 .合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证 其真伪性 . 跟踪训练 (1)数列 12， 13， 23， 14， 24， 34， ? ， 1m 1， 2m 1， ? ， mm 1， ? 的第 20 项是 ( ) A.58 B.34 C.57 D.67 (2)已知 x(0 ， ) ，观察下列各式： x 1x2 ， x 4x2 x2 x2 4x23 ， x 27x3 x3x3x327x34 ， ? ，类比得 xaxn n 1(n N )，则 a _. (3)(
8、2018 郑州第二次质量预测 )平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为 ( ) A 42 B 65 C 143 D 169 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)C (2)nn(n N ) (3)B (1)数列 mm 1在数列中是第 1 2 3 ? mm(m 1)2 项，当 m 5 时，即56是数列中第 15 项，则第 20 项是57，故选 C. (2)第一个式子是 n 1 的情况，此时 a 11 1；第二个式子是 n 2 的情况，此时 a 22 4；第三个式子是 n 3 的情况，此时 a 33 27，归纳可知 a nn. (3)可以通过
9、列表归纳分析得到 凸多边形 4 5 6 7 8 ? 对角线条数 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 6 ? 所以凸 13 边形有 2 3 4 ? 11 13102 65 条对角线故选 B. 类比推理 (1)若数列 an是等差数列，则数列 bn? ?bna1 a2 ? ann 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列 cn是等比数列，且 dn也是等比数列，则 dn的表达式应为 ( ) A dn c1 c2 ? cnn B dn c1 c2? cnn C dnn cn1 cn2 ? cnnn D dnn c1 c2? cn (2)在平面几何中， ABC 的 C 的平分线 CE
10、 分 AB 所成线段的比为 ACBC AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中 (如图 642)，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与AB 相交于 E，则得到类比的结论是 _ 图 642 (1)D (2)AEEB S ACDS BCD(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故 dn的表达式为 dn n c1 c2? cn. 法二：若 an是等差数列，则 a1 a2 ? an na1 n(n 1)2 d， =【 ;精品教育资源文库 】 = bn a1 (n 1)2 d d2n a1 d2，即 bn为等差数列；若 cn是等比数列，则c1 c2? c
11、n cn1 q1 2 ? (n 1) cn1 qn(n 1)2 ， dnn c1 c2? cn c1 qn 12 ，即 dn为等比数列，故选 D. (2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 AEEB S ACDS BCD. 规律方法 类比推理的常见情形与处 理方法 常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比和与积、乘与乘方，差与除，除与开方 数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等 . 处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键 . 跟踪训练 给出下面类比推理 (其中 Q 为有理数
12、集， R 为实数集， C 为复数集 )： “ 若 a， b R，则 a b 0?a b” 类比推出 “ 若 a， c C，则 a c 0?a c” ； “ 若 a， b， c， d R，则复数 a bi c di?a c， b d” 类比推出 “ 若 a， b，c， d Q，则 a b 2 c d 2?a c， b d” ； “ 若 a， b R，则 a b0?ab” 类比推出 “ 若 a， b C，则 a b0?ab” ； “ 若 x R，则 |x|1? 1x1” 类比推出 “ 若 z C，则 |z|1? 1z1” 其中类比结论正确的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 B 类比结论正确的有 .
