1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 利用空间向量求空间角 (对应学生用书第 125 页 ) 求异面直线的夹角 如图 7715，四面体 ABCD 中， O 是 BD 的中点， CA CB CD BD 2， AB AD 2. 图 7715 (1)求证： AO 平面 BCD； (2)求异面直线 AB 与 CD 夹角的余弦值 解 (1)证明：连接 OC，由 CA CB CD BD 2， AB AD 2， O 是 BD 的中点，知 CO 3， AO 1， AO BD. 在 AOC 中， AC2 AO2 OC2， 则 AO OC 又 BD OC O，因此 AO 平面 BCD. (2)如图建立空
2、间直角坐标系 Oxyz，则 A(0,0,1)， B(1,0,0)， C(0， 3， 0)， D(1,0,0)， AB (1,0， 1)， CD ( 1， 3， 0)， 所以 |cos AB ， CD | |AB CD |AB |CD | 24 . 即异面直线 AB 与 CD 夹角的余弦值为 24 . 规律方法 利用向量法求异面直线夹角的步骤 选好基底或建立空间直角坐标系 . 求出两直线的方向向量 v1， v2. 代入公式 |cos v1， v2 | |v1 v2|v1|v2|求解 . 易错警示：两异面直线夹角的范围是 ? ?0， 2 ，两向量的夹角 的范围是 0， ，当=【 ;精品教育资源文库
3、 】 = 异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角 . 跟踪训练 (2017 湖南五市十校 3月联考 )有公共边的等边三角形 ABC和 BCD所在平面互相垂直，则异面直线 AB 和 CD 夹角的余弦值为 _. 【导学号： 79140254】 14 设等边三角形的边长为 2. 取 BC 的中点 O，连接 OA、 OD， 等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相 垂直， OA， OC，OD 两两垂直，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(0,0， 3)， B(0， 1,0)， C(0,1,0)
4、， D( 3， 0,0)， AB (0， 1， 3)， CD ( 3， 1,0)， cos AB ， CD AB CD|AB |CD | 122 14， 异面直线 AB 和 CD 夹角的余弦值为 14. 求直线与平面的夹角 (2017 浙江高考 )如图 7716，已知四棱锥 PABCD， PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， BC AD， CD AD， PC AD 2DC 2CB， E 为 PD 的中点 图 7716 (1)证明： CE 平面 PAB； (2)求直线 CE 与平 面 PBC 夹角的正弦值 解 (1)证明：如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF， FB. =【 ;精品教
5、育资源文库 】 = 因为 E， F 分别为 PD， PA 的中点， 所以 EF AD 且 EF 12AD. 又因为 BC AD， BC 12AD， 所以 EF BC 且 EF BC， 所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE BF. 因为 BF 平面 PAB， CE?/ 平面 PAB， 所以 CE 平面 PAB. (2)分别取 BC， AD 的中点 M， N. 连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ. 因为 E， F， N 分别是 PD， PA， AD 的中点， 所以 Q 为 EF 的中点 在平行四边形 BCEF 中， MQ CE. 由 PAD 为等腰直角三角形得 PN AD. 由
6、DC AD， BC AD， BC 12AD， N 是 AD 的中点得 BN AD. 所以 AD 平面 PBN. 由 BC AD 得 BC 平面 PBN， 那么平面 PBC 平面 PBN. 过点 Q 作 PB 的垂线， 垂足为 H，连接 MH. MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影， 所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 的夹角 设 CD 1. 在 PCD 中，由 PC 2， CD 1， PD 2得 CE 2， 在 PBN 中，由 PN BN 1， PB 3得 QH 14， 在 Rt MQH 中， QH 14， MQ 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 sin QMH 28
7、. 所以，直线 CE 与平面 PBC 夹角的正弦值是 28 . 规律方法 线面角范围 ? ?0， 2 ，向量夹角范围为 0， . 线面角 的正弦值等于斜线对应向量与平面法向量 夹角余弦值的绝对值 .即 sin | |cos AB ， n . AB 即斜向量， n 为平面法向量 . 跟踪训练 (2018 广州综合测试 (二 )如图 7717 ，四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形， BAD 60 ， EB 平面 ABCD， FD 平面 ABCD， EB 2FD 3a. 图 7717 (1)求证： EF AC； (2)求直线 CE 与平面 ABF 夹角的正弦值 解 (1)证明：连接 BD， 因为
8、四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD. 因为 FD 平面 ABCD， AC 平面 ABCD， 所以 AC FD. 因为 BD FD D，所以 AC 平面 BDF. 因为 EB 平面 ABCD， FD 平面 ABCD， 所以 EB FD. 所以 B， D， F， E 四点共面 因为 EF 平面 BDFE，所以 EF AC =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)法一：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DC ， DF 的方向为 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Dxyz. 可以 求得 A? ?32 a， 12a， 0 ， B? ?32 a， 12a， 0 ， F? ?0， 0， 3
9、2 a ， C(0， a,0)， E? ?32 a， 12a， 3a . 所以 AB (0， a,0)， AF ? ? 32 a， 12a， 32 a . 设平面 ABF 的法向量为 n (x， y， z)， 则? n AB 0，n AF 0，即? ay 0， 32 ax 12ay 32 az 0， 令 x 1，则平面 ABF 的一个法向量为 n (1,0,1) 设直线 CE 与平面 ABF 的夹角为 ， 因为 CE ? ?32 a， 12a， 3a ， 所以 sin |cos n， CE | |n CE |n|CE | 3 68 . 所以直线 CE 与平面 ABF 夹角的正弦值为 3 68
10、. 法二：如图，设 AC BD O，以 O 为坐标原点，分别以 OA ， OB ， BE 的方向为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. =【 ;精品教育资源文库 】 = 可以求得 A ? ?32 a， 0， 0 ， B ? ?0， 12a， 0 ， C ? ? 32 a， 0， 0 ， E ? ?0， 12a， 3a ，F? ?0， 12a， 32 a . 所以 AB ? ? 32 a， 12a， 0 . AF ? ? 32 a， 12a， 32 a . 设平面 ABF 的法向量为 n (x， y， z)， 则? n AB 0，n AF 0，即? 32 ax 12a
11、y 0， 32 ax 12ay 32 az 0，令 x 1，则平面 ABF 的一个法向量为 n (1， 3， 2) 设直线 CE 与平面 ABF 夹角为 ， 因为 CE ? ?32 a， 12a， 3a ， 所以 sin |cos n， CE | |n CE |n|CE | 3 68 . 所以直线 CE 与平面 ABF 夹角的正弦值为 3 68 . 求二面角 (2017 全国卷 ) 如图 7718，在四棱锥 PABCD 中， AB CD，且 BAP CDP90. 图 7718 (1)证明：平面 PAB 平面 PAD； (2)若 PA PD AB DC， APD 90 ，求二面角 APBC 的余
12、弦值 解 (1)证明：由已知 BAP CDP 90 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 AB AP， CD PD. 因为 AB CD，所以 AB PD. 又 AP DP P，所以 AB 平面 PAD. 因为 AB 平面 PAB，所以平面 PAB 平面 PAD. (2)在平面 PAD 内作 PF AD，垂足为点 F. 由 (1)可知， AB 平面 PAD，故 AB PF，可得 PF 平面 ABCD. 以 F 为坐标原点， FA 的方向为 x 轴正方向， |AB |为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz. 由 (1)及已知可得 A? ?22 ， 0， 0 ， P? ?0， 0， 2
13、2 ， B? ?22 ， 1， 0 ， C? ? 22 ， 1， 0 ， 所以 PC ? ? 22 ， 1， 22 ， CB ( 2， 0,0)， PA ? ?22 ， 0， 22 ， AB (0,1,0) 设 n (x1， y1， z1)是平面 PCB 的一个法向量，则 ? n PC 0，n CB 0，即? 22 x1 y122 z1 0，2x1 0.所以可取 n (0， 1， 2) 设 m (x2， y2， z2)是平面 PAB 的一个法向量，则 ? m PA 0，m AB 0，即? 22 x222 z2 0，y2 0.所以可取 m (1,0,1)，则 cos n， m nm|n|m| 2
14、3 2 33 . 所以二面角 APBC 的余弦值为 33 . 规律方法 利用向量计算二面角大小的常用方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 ，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐 钝 二面角 . 找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 . 跟踪训练 (2018 福州质检 )如图 7719(1)，在等腰梯形 PDCB 中， PB DC， PB 3， DC 1， DPB 45 ， DA PB 于点 A，将 P
15、AD 沿 AD 折起，构成如图 7719(2)所示的四棱锥 PABCD，点 M 在棱 PB 上，且 PM 12MB. (1) (2) 图 7719 (1)求证： PD 平面 MAC； (2)若平面 PAD 平面 ABCD，求二面角 MACB 的余弦值 解 (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 N，连接 MN， 依题意知 AB CD， ABN CDN， BNND BACD 2. PM 12MB， BNND BMMP 2， 在 BPD 中， MN DP. 又 PD?/ 平面 MAC， MN 平面 MAC， PD 平面 MAC (2) 平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD， PA AD， PA 平面 PAD， PA 平面 ABCD. 又 AD AB， PA， AD， AB 两两垂直 以 A 为原点，分别以 AD ， AB ， AP 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空=【 ;精品教育资源文库 】 = 间直角坐标系 Axyz. 依题意 AP AD 1， AB 2，又 PM 12MB，
