1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解任意角的概念和弧度制的概念 .2.能进行弧度与角度的互化 .3.理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 (对应学生用书第 47 页 ) 基础知识填充 1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)分类? 按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 .按终边位置不同分为 象限角 和轴线角 . (3)终边相同的角： 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S | k360 ， k Z (4)象限角：
2、使角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x 轴的非负半轴 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 2弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，长度为 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角，它的单位符号是 rad.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. (2)公式： 角 的弧度数公式 | | lr(弧长用 l 表示 ) 角度与弧度的换算 1 180 rad； 1 rad ? ?180 弧长公式 弧长 l | |r 扇形面积公式 S 12lr 12| |r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦
3、 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u， v)，那么 v 叫作 的正弦，记作 sin u 叫作 的余弦，记作 cos vu叫作 的正切，记作 tan 各 =【 ;精品教育资源文库 】 = 象限符号 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线 知识拓展 1.任意角的三角函数的定义 (推广 ) 设 P(x， y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin yr， cos xr， tan yx(y0) 2单位圆上任意一点可设为 (cos ， sin )( R) 3若 ? ?0， 2 ，则 sin t
4、an . 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)小于 90 的角是锐角 ( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然 ( ) (3)三角形的内角必是第一、第二象限角 ( ) (4)角 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关 ( ) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等 ( ) (6)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2若 cos 0，且 sin 2 0，则角 的终边所在象限为 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 D 由 cos 0， sin 2 2s
5、in cos 0 得 sin 0，则角 的终边在第四象限，故选 D 3 (教材改编 )已知角 的终边与单位圆的交点为 M? ?12， y ，则 sin ( ) A 32 B 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 22 D 22 B 由题意知 |r|2 ? ?122 y2 1，所以 y 32 .由三角函数定义知 sin y 32 . 4已知圆的一条弦的长等于半径长，则这条弦所对的圆心角的大小为 _弧 度 3 弧长等于半径长 该弦与两半径构成的三角形为正三角形 故该弦所对的圆心角的大小为 3. 5 3 900 是第 _象限角， 1 000 是第 _象限角 四 一 3 900 10360 30
6、0 ， 3 900 是第四象限角 1 000 3360 80 ， 1 000 是第一象限角 (对应学生用书第 48 页 ) 角的有关概念及其集合表示 (1)若角 是第二象限角，则 2 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象限角 D第二或第四象限角 (2)终边在直线 y 3x 上的角的集合是 _ (1)C (2) | 60 k180 ， k Z (1) 是第二象限角， 2 2k 2k ， k Z， 4 k 2 2 k ， k Z. 当 k 为偶数时， 2 是第一象限角； 当 k 为奇数时， 2 是第三象限角 综上， 2 是第一或第三象限角 (2)如图，直线 y 3x 过原点，倾斜
7、角为 60 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 0 360 范围内， 终边落在射线 OA 上的角是 60 ，终边落在射线 OB 上的角是 240 ，所以以射线 OA，OB 为终边的角的集合为： S1 | 60 k360 ， k Z， S2 | 240 k360 ， k Z， 所以角 的集合 S S1 S2 | 60 k360 ， k Z | 60 180 k360 ， k Z | 60 2k180 ， k Z | 60 (2k 1)180 ， k Z | 60 k180 ， k Z 规律方法 1.终边在某直线上角的求法四步骤 数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线 . 按逆时针方向写出
8、0， 内的角 . 再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合 . 求并集化简集合 . 2.确定 k ， k k N 终边位置的步骤 用终边相同角的形式表示出角 的范围 . 再写出 k 或 k 的 范围 . 然后根据 k 的可能取值讨论确定 k 或 k 的终边所在位置 . 3.注意角度与弧度不能混用 . 4.终边落在 x 轴上角的集合 x|x k ， k Z . 终边落在 y 轴上角的集合?x? x k 2 ， k Z . 终边落在坐标轴上的角的集合?x? x k2 ， k Z. 跟踪训练 (1)设集合 M?x? x k2180 45 ， k Z ， N?x? x k4180 45 ， k Z
9、 ，那么 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A M N B M?N C N?M D M N ? (2)已知角 45 ，在区间 720 ， 0 内与角 有相同终边的角 _. 【导学号： 79140099】 (1)B (2) 675 或 315 (1)法一：由于 M?x? x k2180 45 ， k Z ? ， 45 ， 45 ， 135 ， 225 ， ? ， N?x? x k4180 45 ， k Z ? ， 45 ， 0 ， 45 ， 90 ， 135 ， 180 ，225 ， ? ，显然有 M?N，故选 B 法二：由于 M 中， x k2180 45 k90 45 (2k 1)4
10、5 ， 2k 1 是奇数； 而 N 中， x k4180 45 k45 45 (k 1)45 ， k 1 是整数，因此必有 M?N，故选 B (2)由终边相同的角的关系知 k360 45 ， k Z， 所以取 k 2， 1，得 675 或 315. 扇形的弧长、面积公式 (1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角； (2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 解 (1)设圆心角是 ，半径是 r，则 ? 2r r 10，12 r2 4， 解得 ? r 1， 8 (舍去 )或 ? r 4， 12， 扇形的圆心角为 12. (2)设圆心角是 ，半径是 r
11、，则 2r r 40. 又 S 12r 2 12r(40 2r) r(20 r) (r 10)2 100100. 当且仅当 r 10 时， Smax 100，此时 210 10 40， 2， 当 r 10， 2=【 ;精品教育资源文库 】 = 时，扇形的面积最大 规律方法 解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事 项 解决有关扇形的弧长和面积问题时，要注意角的单位，一般将角度化为弧度 . 求解扇形面积的最值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决 . 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 . 跟踪训练 (1)扇形弧长为 20 cm，圆心角为
12、100 ，则该扇形的面积为 _ cm2. (2)如图 311，已知扇形的圆心角 120 ，弦 AB 长 12 cm，则该扇形的弧长 l _ cm. 图 311 (1)360 (2)8 33 (1)由弧长公式 l | |r，得 r 20100180 36 ， S 扇形 12lr 1220 36 360 . (2)设扇形的半径为 r cm，如图 由 sin 60 6r，得 r 4 3， l | | r 23 4 3 8 33 cm. 三角函数的定义 角度 1 三角函数定义的应用 (2017 河南八市联考 )已知角 的顶点在原点，始边与 x轴非负半轴重合，点 P(4m,3m)(m 0)是角 终边上的一点，则 2sin cos _. 25 | OP| ( 4m)2 (3m)2 5|m| 5m(m 0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = sin 3m5m 35， cos 4m5m 45， 2s in cos 2 35 45 25. 角度 2 三角函数值符号的判定 若 sin tan 0，且 cos tan 0，则角 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 C 由 sin tan 0 可知 sin ， tan
