1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 热点探究训练 (三 ) 数列中的高考热点问题 (对应学生用书第 233 页 ) 1 (2017 广州综合测试 (一 )已知数列 an是等比数列， a2 4， a3 2 是 a2和 a4的等差中项 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2log2an 1，求数列 anbn的前 n 项和 Tn. 解 (1)设数列 an的公比为 q， 因为 a2 4，所以 a3 4q， a4 4q2. 2 分 因为 a3 2 是 a2和 a4的等差中项，所以 2(a3 2) a2 a4. 即 2(4q 2) 4 4q2，化简得 q2 2q 0. 因为公比 q0 ，所以 q
2、 2. 所以 an a2qn 2 42 n 2 2n(n N*). 5 分 (2)因为 an 2n，所以 bn 2log2an 1 2n 1， 所以 anbn (2n 1)2n， 7 分 则 Tn 12 32 2 52 3 (2n 3)2n 1 (2n 1)2n， 2Tn 12 2 32 3 52 4 (2n 3)2n (2n 1)2n 1. 由 得， Tn 2 22 2 22 3 22 n (2n 1)2n 1 2 2 2n 11 2 (2n 1)2n 1 6 (2n 3)2n 1， 所以 Tn 6 (2n 3)2n 1. 12 分 2 (2018 郑州模拟 )已知数列 an的前 n 项和
3、Sn n2 n2 ， n N*. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2an ( 1)nan，求数列 bn的前 2n 项和 【导学号： 00090183】 解 (1)当 n 1 时， a1 S1 1； 2 分 当 n2 时， an Sn Sn 1 n2 n2 n 2 n2 n. 4 分 a1也满足 an n，故数列 an的通项公式为 an n. 6 分 (2)由 (1)知 an n，故 bn 2n ( 1)nn. 记数列 bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n (21 22 22n) ( 1 2 3 4 2n) 记 A 21 22 22n， B 1 2 3 4 2n， 则 A
4、22n1 2 22n 1 2， 8 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = B ( 1 2) ( 3 4) (2n 1) 2n n. 10 分 故数列 bn的前 2n 项和 T2n A B 22n 1 n 2. 12 分 3 (2016 四川高考 )已知数列 an的首项为 1， Sn为数列 an的前 n 项和， Sn 1 qSn 1，其中 q0， n N*. (1)若 a2， a3， a2 a3成等差数列，求数列 an的通项公式； (2)设双曲线 x2 y2a2n 1 的离心率为 en，且 e2 2，求 e21 e22 e2n. 解 (1)由已知 Sn 1 qSn 1，得 Sn 2 qSn 1
5、1， 两式相减得到 an 2 qan 1， n 1. 又由 S2 qS1 1 得到 a2 qa1， 故 an 1 qan对所有 n1 都成立 所以，数列 an是首项为 1，公比为 q 的等比数列 从而 an qn 1. 3 分 由 a2， a3， a2 a3成等差数列，可得 2a3 a2 a2 a3， 所以 a3 2a2，故 q 2. 所以 an 2n 1(n N*). 5 分 (2)由 (1)可知 an qn 1， 所以双曲线 x2 y2a2n 1 的离心率 en 1 a2n 1 q n . 8 分 由 e2 1 q2 2 解得 q 3， 所以 e21 e22 e2n (1 1) (1 q2
6、) 1 q2(n 1) n 1 q2 q2(n 1) n q2n 1q2 1 n12(3n 1). 12 分 4已知数列 an中， a1 1， an 1 1 4an 3，数列 bn满足 bn 1an 1(n N*) (1)求数列 bn的通项公式； (2)证明： 1b21 1b22 1b2n7. 【导学号： 00090184】 解 (1)由题意得 an 1 1 2 4an 3 2an 2an 3， bn 1 1an 1 1 an 32an 2 an 2an 1an 1 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = bn 12. 3 分 又 b1 12， 数列 bn是首项为 12，公差为 12的等差数列， bn n2. 5 分 (2)证明：当 n 1 时，左边 1b21 47 不等式成立； 6 分 当 n 2 时，左边 1b21 1b22 4 1 57 不等式成立； 8 分 当 n3 时， 1b2n 4n2 4n n 4? ?1n 1 1n ， 左边 1b21 1b22 1b2n4 1 412 13 13 14 1n 1 1n 5 4? ?12 1n 7 4n7. 10 分 1b21 1b22 1b2n7. 12 分
