1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 函数的单调性与最大 (小 )值 考纲传真 1.理解函数的单调性、最大 (小 )值及其几何意义 .2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质 (对应学生用书第 9 页 ) 基础知识填充 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数 f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数 x1， x2 A 当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么，就称函数 f(x)在区间 A 上是增加的 当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么，就称函数 f(x)在区间 A 上是减少的 图像 描述 自左向右看图像是 上升的 自
2、左向右看图像是 下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y f(x)在区间 A 上是 增加的 或是 减少的 ，那么就称 A 为单调区间 2函数的最大 (小 )值 前提 函数 y f(x)的定义域为 D 条件 (1)存在 x0 D，使得 f(x0) M； (2)对于任意 x D，都有 f(x0) M (3)存在 x0 D，使得 f(x) M； (4)对于任意 x D，都有 f(x0) M. 结论 M 为最大值 M 为最小值 知识拓展 函数单调性的常用结论 (1)对任意 x1 ， x2 D(x1 x2)， f x1 f x2x1 x2 0?f(x)在 D 上是增函数，f x1 f x2x1 x2
3、0?f(x)在 D 上是减函数 (2)对勾函数 y x ax(a 0)的增区间为 ( ， a和 a， ) ，减区间为 a，0)和 (0， a (3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 y f(u)和 u g(x)的单调性的关系是 “ 同增异减 ” 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)对于函数 f(x)， x D，若对任意 x1， x2 D， x1 x2且 (x1 x2) f(x1) f(x2)0，则函数 f(x)在区间 D 上是增
4、加的 ( ) (2)函数 y 1x的单调递减区间是 ( ， 0) (0， ) ( ) (3)函数 y |x|在 R 上是增加的 ( ) (4)函数 y x2 2x 在区间 3， ) 上是增加的，则函数 y x2 2x 的单调 递增区间为 3， ) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (2017 深圳二次调研 )下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是 ( ) A y x3 B y x C y 1x D y ? ?12 x C 选项 A， B 中函数在定义域内均为单调递增函数，选项 D 为在定义域内为单调递减函数，选项 C 中，设 x1 x2(x1， x20) ，则 y2 y1
5、1x2 1x1 x1 x2x1x2，因为 x1 x2 0，当 x1，x2同号时 x1x2 0， 1x2 1x1 0，当 x1， x2异号时 x1x2 0， 1x2 1x1 0，所以函数 y 1x在定义域上不是单调函数，故选 C 3 (教材改编 )已知函数 f(x) 2x 1， x 2,6，则 f(x)的最大值为 _，最小值为_ 2 25 可判断函数 f(x) 2x 1在 2,6上为减函数，所以 f(x)max f(2) 2， f(x)minf(6) 25. 4函数 y (2k 1)x b 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是 _ ? ? ， 12 由题意知 2k 1 0，得 k 12. 5
6、 f(x) x2 2x， x 2,3的单调增区间为 _， f(x)max _. 1,3 8 f(x) (x 1)2 1，故 f(x)的单调增区间为 1,3， f(x)max f( 2) 8. (对应学生用书第 10 页 ) 函数单调性的判断 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)(2017 全国卷 )函数 f(x) ln(x2 2x 8)的单调递增区间是 ( ) A ( ， 2) B ( ， 1) C (1， ) D (4， ) (2)试讨论函数 f(x) x kx(k 0)的单调性 【导学号： 00090017】 (1)D 由 x2 2x 80，得 x4 或 x 2. 设 t x2 2x
7、8，则 y ln t 在 t (0， ) 上为增函数 欲求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数 t x2 2x 8 的单调递增区间 函数 t x2 2x 8 的单调递增区间为 (4， ) ， 函数 f(x)的单调递增区间为 (4， ) 故选 D (2)法一：由解析式可知，函数的定义域是 ( ， 0) (0， ) 在 (0， ) 内任取x1， x2，令 0 x1 x2，那么 f(x2) f(x1) ? ?x2kx2 ?x1kx1 (x2 x1) k?1x21x1 (x2 x1) x1x2 kx1x2. 因为 0 x1 x2，所以 x2 x1 0， x1x2 0. 故当 x1， x2 ( k，
8、) 时， f(x1) f(x2)， 即函数在 ( k， ) 上是增加的 当 x1， x2 (0， k)时， f(x1) f(x2)， 即函数在 (0， k)上是减少的 考虑到函数 f(x) x kx(k 0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在 ( ， k)上是增加的，在 ( k， 0)上是减少的 综上，函数 f(x)在 ( ， k)和 ( k， ) 上是增加的，在 ( k， 0)和 (0， k)上是减少的 法二： f( x) 1 kx2. 令 f( x) 0 得 x2 k，即 x ( ， k)或 x ( k， ) ，故函数的单调增区间为 ( ， k)和 ( k， ) 令 f
9、( x) 0 得 x2 k，即 x ( k， 0)或 x (0， k)，故函数的单调减区间为 ( k，0)和 (0， k) 故函数 f(x)在 ( ， k)和 ( k， ) 上是增加的，在 ( k， 0)和 (0， k)上是减=【 ;精品教育资源文库 】 = 少的 规律方法 1.函数 y f(g(x)的单调性应根据外层函数 y f(t)和内层函数 t g(x)的单调性判断，遵循 “ 同增异减 ” 的原则 2利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底 3利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确 易错警示： 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单
10、调区间，如本题 (1) 变式训练 1 (1)(2016 北京高考 )下列函数中，在区间 ( 1,1)上为减函数的是 ( ) A y 11 x B y cos x C y ln(x 1) D y 2 x (2)函数 f(x) log12(x2 4)的单调递增区间是 ( ) A (0， ) B ( ， 0) C (2， ) D ( ， 2) (1)D (2)D (1)选项 A 中， y 11 x在 ( ， 1)和 (1， ) 上是增加的，故 y 11 x在 ( 1,1)上是增加的； 选项 B 中， y cos x 在 ( 1,1)上先增后减； 选项 C 中， y ln(x 1)在 ( 1， ) 上
11、是增加的，故 y ln(x 1)在 ( 1,1)上是增加的； 选项 D 中， y 2 x ? ?12 x在 R 上是减少的，故 y 2 x在 ( 1,1)上是减少的 (2)由 x2 4 0 得 x 2 或 x 2，所以函数 f(x)的定义域为 ( ， 2) (2， ) ，因为 y log12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 t x2 4的单调递减区间，可知所求区间为 ( ， 2) 利用函数的单调性求最值 已知 f(x) x2 2x ax ， x 1， ) ，且 a1. (1)当 a 12时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x 1， ) ， f(x) 0
12、恒成立，试求实数 a 的取值范围 思路点拨 (1)先判断函数 f(x)在 1， ) 上的单调性，再求最小值； (2)根据 f(x)min 0 求 a 的范围，而求 f(x)min应对 a 分类讨论 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)当 a 12时， f(x) x 12x 2， f( x) 1 12x2 0， x 1， ) ， 即 f(x)在 1， ) 上是增加的， f(x)min f(1) 1 121 2 72. 4 分 (2)f(x) x ax 2， x 1， ) 法一： 当 a0 时， f(x)在 1， ) 上是增加的 f(x)min f(1) a 3. 要使 f(x) 0 在
13、x 1， ) 上恒成立，只需 a 3 0， 3 a0. 7 分 当 0 a1 时， f(x)在 1， ) 上是增加的， f(x)min f(1) a 3， a 3 0， a 3， 0 a1. 综上所述， f(x)在 1， )上恒大于零时， a 的取值范围是 ( 3,1. 12 分 法二： f(x) x ax 2 0， x1 ， x2 2x a 0， 8 分 a (x2 2x)，而 (x2 2x)在 x 1 时取得最大值 3， 3 a1 ，即 a 的取值范围为 ( 3,1. 12 分 规律方法 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数 f(x)在闭区间a， b上是增加的 ，则 f(x
14、)在 a， b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a) 请思考，若函数 f(x)在闭区间 a， b上是减少的呢？ 变式训练 2 (1)函数 f(x)? 1x， x1 ， x2 2， x 1的最大值为 _ (2)(2016 北京高考 )函数 f(x) xx 1(x2) 的最大值为 _. 【导学号： 00090018】 (1)2 (2)2 (1)当 x1 时，函数 f(x) 1x为减函数，所以 f(x)在 x 1 处取得最大值，为 f(1) 1；当 x 1 时，易知函数 f(x) x2 2 在 x 0 处取得最大值，为 f(0) 2. 故函数 f(x)的最大值为 2. (2)法一： f( x)
15、1x 2， x2 时， f( x) 0 恒成立， f(x)在 2， ) 上是减少的， f(x)在 2， ) 上的最大值为 f(2) 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 法二： f(x) xx 1 x 1 1x 1 1 1x 1， f(x)的图像是将 y 1x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到的 y 1x在 1， ) 上是减少的， f(x)在 2， ) 上是减少的，故 f(x)在 2， ) 上的最大值为 f(2) 2. 法三：由题意可得 f(x) 1 1x 1. x2 ， x 11 ， 0 1x 11 ， 1 1 1x 12 ，即 1 xx 12. 故 f(x)在 2， )上的最大值为 2. 函数单调性的应用 角度 1 比较大小 (2017 河南百校联盟质检 )已知 f(x) 2x 2 x，
